Gesetze von De Morgan (Mengenlehre)

Entwurf für ikonischen Beweis:

dm

de_Morgan_1_links de_Morgan_1_rechts

Programmcode:
Beweis erstes Gesetz von de Morgan (PDF-Merkblatt)

H:{1,2,3,4};
A:{2,3};
B:{3,4};
V:union(A,B);
D_H_V:setdifference(H,V);
L1:setdifference(H,union(A,B));
D_H_A:setdifference(H,A);
D_H_B:setdifference(H,B);
R1:intersect(D_H_A,D_H_B);
is(L1=R1);

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-397989842

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Wechselwirkung von Medikamenten

wechselwirkungen

Die mathematische Funktion dazu:

wechselwirkungsfunktion

Programmcode:
„“/* WECHSELWIRKUNG von Medikamenten */;
wechselwirkung(x):=binomial(x,2);
makelist(wechselwirkung(x),x,0,10);
plot2d([wechselwirkung(x)], [x,0,10]);

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r736748942

Nachbetrachtung in Geogebratube:
http://www.geogebratube.org/student/m80971

Aufgabe zur Kosten- und Preistheorie

Aufgabenstellung in Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1876422277

Ausführlich:

„“/*Die monatlichen Gesamtkosten eines Betriebes lassen sich durch folgende Gleichung beschreiben:*/;
K(x) := 0.5*x^2 + 175*x + 45000;

„“/*Die Nachfragefunktion lautet:*/;
p(x) := 700 – 0.25*x;

„“/*a) Berechne, bei welcher Menge das Betriebsoptimum liegt, und wie groß die langfristige Preisuntergrenze ist. Ermittle, welchem Stückgewinn dies entspricht.*/;

„“/*b) Berechne die Koordinaten des Cournotschne Punktes, und ermittle den maximalen Gewinn.*/;

„“/**c) Ermittle, bei welchen Absatzmengen die Grenzen der Gewinnzone liegen.*/;

„“/*d) Berechne die Menge und den Preis, bei dem der größte Erlös entsteht. Gib diesen an.*/;

„“/*e) Beweise, dass die quadratische Kostenfunktion kein Betriebsminimum besitzt.*/;

„“/*f) Berechne die Absatzelastizitäten im Cournotschen Punkt und im Betriebsoptimum.*/;

„“/*g) Stelle die Kosten- , Erlös- und Gewinnfunktion in einem Diagramm grafisch dar und markiere die in b), c) und d) errechneten Punkte. */;

 

Lösung der Teilaufgaben (a) bis (d): http://maxima-online.org/?inc=r-221675146

Annuitätentilgungsplan

Dynamische Systeme lassen sich gut mit rekursiven Folgen modellieren!

H     … Hypotheken-Darlehen
p      … Zinssatz
A      … Annuität
K[n] … Kapital

image   
Das Maxima-Programm für den Tilgungsplan        

Lösung mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r2009640708

Mit While-Schleife:
http://maxima-online.org/?inc=r-1731598530

Ohne Überzahlung:
http://maxima-online.org/?inc=r1015845602

Polynomfunktionen aus Punktelisten berechnen

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-399563279

Möglichst hohe Allgemeingültigkeit wurde oben angestrebt. Bei der Obergrenze und Untergrenze der Graphik ist das noch nicht der Fall. Es muss eine passende Begrenzung errechnet werden. Das wird sich wohl an der Liste der Nullstellen orientieren. Es sollten alle Nullstellen sichtbar sein.

Weitere Beispiele durch Veränderung der Punkte-Liste:

S-förmiger Kostenverlauf

Der s-förmige Kostenverlauf wird am besten mit einer kubischen Kostenfunktion dargestellt.

Geogebratubehttp://www.geogebratube.org/student/m78623

Anregung  zum Geogebra-Arbeitsblatt: Durch Ziehen an mindestens einem von den Punkten A,B,C und D in der Grafik kann man die Kostenfunktion ändern. Aber aufpassen, die Gesamtkosten (hier f(x)) sind streng monoton steigend! Im Algebra-Fenster kann man Punkte und Funktion verändern.

Veränderungen an den Punkten A und B:aktion_A_B

Aufgabe 1:

  • Man nehme die Gesamtkosten aus Geogebratube.
  • Man berechne die Fixkosten.
  • Man berechne die Durchschnittskosten.
  • Man berechne die langfristige Preisuntergrenze.
  • Der Preis sein das 10-fache der langfristigen Preisuntergrenze.
  • Man bestimme den Umsatz ( = Erlös).
  • Man bestimme die Gewinnfunktion.
  • Man bestimme die Gewinngrenzen.
  • Man bestimme den maximalen Gewinn.

Programmcode (Algorithmus):
PDF-Dokumentation:
Typische Aufgabe aus der Kosten- und Preistheorie

K:(2+2/3)*x^3-50*x^2+(383+1/3)*x+1000;
F:K,x=0;
D:K/x;
ab:diff(D,x);
l:realroots(ab),numer;
BO:x,l;
BO:floor(BO*10+0.5)/10.0;
LPU:D,x=BO;
LPU:floor(LPU*100+0.5)/100.0;
p:10*LPU;
U:p*x;
G:U-K;
l:realroots(G),numer;
GS:x,l[2];
GS:floor(GS*10+0.5)/10.0;
GG:x,l[3];
GG:floor(GG*10+0.5)/10.0;
ab:diff(G,x);
l:realroots(ab),numer;
xGmax:x,l[2];
xGmax:floor(xGmax*10+0.5)/10.0;
Gmax:G,x=xGmax;
Gmax:floor(Gmax*100+0.5)/100.0;

Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-1056647715

Aufgabe 2:

Basis ist das Geogebra-Arbeitsblatt!aufgabe2

Exemplarische Lösung der ersten Teilaufgabe mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r-109357977

Schularbeitenstatistik

Geogebratube:
(Ausgangspunkt für Aufgabenstellungen)

http://www.geogebratube.org/student/m70883

Man kontrolliere die Kennzahlen. Die Häufigkeiten in der Tabelle dürfen sinnvoll verändert werden.

Programmcode:

X:[1,2,3,4,5];
H:[2,7,12,4,2];
n:length(X);
N:sum(H[i],i,1,n);
P:H/N;
E:sum(P[i]*X[i],i,1,n);
V:sum(P[i]*(X[i]-E)^2,i,1,n);
S:sqrt(V);

Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-333001517
Dokumentierthttp://maxima-online.org/?inc=r-99769945
Aufgabengeneratorhttp://maxima-online.org/?inc=r1734399862
(die Häufigkeiten dürfen sinnvoll verändert werden)

Übungsaufgabe 1: H:[3,3,3,3,3] wurde verändert
http://www.learnclick.com/quiz/show/6005

Übungsaufgabe 2: Eine falsche Kennzahl
http://www.learnclick.com/quiz/show/6018

Übungsaufgabe 3: Kennzahlenberechnung
http://LearningApps.org/display?v=p8zgvmp8c

Gegeben sind zwei Punkte, bestimme die Gerade

Geradengleichung

image

Programmcode:

x1:3;
y1:1;
x2:7;
y2:4;
g(x,y):=y=k*x+d;
g1:g(x1,y1);
g2:g(x2,y2);
l:solve([g1,g2],[k,d]);
Gerade:g(x,y),l;

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1437297732

Aufgabengeneratorhttp://maxima-online.org/?inc=r-639658137

Eine Kontrollaufgabehttp://www.learnclick.com/quiz/show/6021

Vermessungsaufgabe von Josef Raddy in Youtube

Wegen des bissigen Hundes schwierig 🙂

Programmcode:

„*“/* Berechnung von http://www.youtube.com/watch?v=MxstZ8UnpK4 */;
„*“/* Ergebnis der Messungen */;
alpha:45;
alpha:alpha*%pi/180;
beta:63.43;
beta:beta*%pi/180;
entfernung:44;
„*“/* Gleichungen */;
g1:h/x=tan(beta);
g2:h/(x+entfernung)=tan(alpha);
„*“/* Lösung */;
l:solve([g1,g2],[h,x]),numer;
h:ev(h,l);
„*“/* Ergebnisfeststellung */;
Raketenhoehe_in_m:floor(h*10+0.5)/10.0;

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r476511951

Die Rakete ist also 88 m hoch.

Kontrollaufgabe (Korrektur eines Winkels): http://www.learnclick.com/quiz/show/6006

Eine einfache Vermessungsaufgabe

Aufgabe:

Wie hoch ist ein Sendemast, der bei einer Sonnenhöhe von 33°15’ einen 50 Meter langen Schatten auf die horizontale Standfläche wirft?

Programmcode:

„“/* Eingabedaten */;
sonnenhoehe:33+15/60;
schatten:50;
„“/* Berechnung */;
sonnenhoehe:sonnenhoehe*%pi/180;
g:tan(sonnenhoehe)=hoehe/schatten;
l:solve(g,hoehe);
hoehe:ev(hoehe,l),numer;
„“/* Ausgabe */;
hoehe:floor(hoehe*100+0.5)/100.0;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-881702262

Ergebnis: Die gesuchte Höhe ist 32,78 Meter.