Beispiele mit dem Formelrechner

Klicke hier, um den Formelrechner zu bekommen: Geogebra Formelrechner

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SEND + MORE = MONEY

Aufgabe:
Diese Aufgabe hat man mir 1966 als Schüler der Hauptschule Tamsweg gestellt. Das heißt, man kann es ohne Computer ausknobeln.
Bei einem Kryptogramm muss an die Buchstaben durch (verschiedene) Ziffern ersetzen.

Programmcode:

Buchstaben:sort(listify({s,e,n,d,m,o,r,e,m,o,n,e,y}));
m:1;
for d:0 thru 9 do
for e:0 thru 9 do
for n:0 thru 9 do
for o:0 thru 9 do
for r:0 thru 9 do
for s:0 thru 9 do
for y:0 thru 9 do
block(
ev(Buchstaben:[d,e,m,n,o,r,s,y]),
if (1000*s+100*e+10*n+d)
+1000*m+100*o+10*r+e
=10000*m+1000*o+100*n+10*e+y then
if cardinality(setify(Buchstaben))= length(Buchstaben) then
print(Buchstaben,1000*s+100*e+10*n+d,"+",1000*m+100*o+10*r+e,
"=",10000*m+1000*o+100*n+10*e+y)
);

Lösung:

[7,5,1,6,0,8,9,2]9567+1085=10652

Achtung: lange Laufzeit!

Maxima Online: wird erst eingearbeitet

Ein Kryptogramm lösen

Gegebenes Kryptogramm:

EINS + EINS = ZWEI

Wenn man die Buchstaben durch passende Ziffern ersetzt, erhält man eine richtige Rechnung. Verschiedene Buchstaben müssen verschiedene Ziffern sein.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Kryptogramm

Programmcode:

for e:0 thru 9 do
for i:0 thru 9 do
for n:0 thru 9 do
for s:0 thru 9 do
for w:0 thru 9 do
for z:0 thru 9 do
block(
ev(Buchstaben:[e,i,n,s,w,z]),
if 2*(1000*e+100*i+10*n+s)=1000*z+100*w+10*e+i then
if cardinality(setify(Buchstaben))= length(Buchstaben) then
print(Buchstaben)
);

Man beachte, dass die Verwendung der Mächtigkeit einer Menge (cardinality) hier vorteilhaft verwendet werden konnte,.

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1496736207
mit Ausgabe von EINS und ZWEI: http://maxima-online.org/?inc=r-792513137

Zur Funktionsweise des Programms siehe: https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/02/ein-spanisches-online-maxima/

 

Diverse Aufgaben zur Kosten- und Preistheorie

Begriffserklärung:
Die Kosten- und Preistheorie ist eine Anwendung der Analysis (Infinitesimalrechnung) auf Fragestellungen der Betriebswirtschaftslehre. Das Anliegen ist, Erklärungsmodelle zu liefern.

Themen:

  • Nachfragefunktion
  • Sättigungsmenge
  • Preisobergrenze
  • Umsatz (Erlös)
  • Kosten
  • Gewinn

Aufgabe 1: Sättigungsmenge
Wenn der Preis sinkt, nimmt die Nachfrage normalerweise zu, bis man bei einem Preis p = 0 GE die Sättigungsmenge erreicht  (Snobeffekt: „Was nichts kostet, ist nichts wert!“).

Programmcode:

p(x):=0.11*x**2-1.5*x+4.39;
l:realroots(p(x)),numer;
xs:x,l[1];
xs:floor(xs*100+0.5)/100.0;

Erklärung:

  1. Gegeben ist eine quadratische Nachfragefunktion.
  2. Wenn der Preis Null ist, erhält man die Sättigungsmenge.
  3. Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, die erste davon ist die Sättigungsmenge.
  4. Die Sättigungsmenge wird auf 2 Dezimalen gerundet.

Lösung mit Maxima Online:

Sättigungsmenge: http://maxima-online.org/?inc=r-1303960272
Mit Probe: http://maxima-online.org/?inc=r-1005449959

Zusatzaufgaben:

  1. Man zeichne die Nachfragefunktion mit Maxima.
  2. Man zeichne die Nachfragefunktion mit Geogebra.
  3. Man ermittle die Sättigungsmenge mit Geogebra.

Aufgabe 2: Preisobergrenze
Wenn der Preis zu hoch wird, sinkt die Nachfrage auf NULL.  Diese Preisobergrenze wird auch als Höchstpreis bezeichnet. Wir bestimmen zunächst eine quadratische Nachfragefunktion aus drei Punkten und berechnen dann die Preisobergrenze.

Programmcode:

Nachfrage:[[0,10],[4,3],[8,0]];
g(X):=X[2]=a*X[1]^2+b*X[1]+c;
g:map(g,Nachfrage);
l:solve(g,[a,b,c]);
p:a*x^2+b*x+c,l;
plot2d([p], [x,0,8]);

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-551113382
mit Berechnung der Preisobergrenze: http://maxima-online.org/?inc=r-969524826

 

 

Berechnung des Endkapitals bei unregelmäßigen Zahlungen

Grundaufgabe:

Quelle: http://www.lungau-academy.at/Mathematik-Tests/Fuenf_aufeinanderfolgende_Zahlungen.htm (bisher nur für Windows getestet).

„“/*
Jemand zahlt sofort 7665 €,
nach einem Jahr 4840 €,
nach zwei Jahren 3526 €,
nach drei Jahren 339 € und
nach vier Jahren 3820 €.
Bei einem Zinssatz von 5.125 %
ergibt sich nach 11 Jahren
das Endkapital Kn €.*/;

Programmcode:

Zahlung:[[7665,0],[4840,1],[3526,2],[339,3],[3820,4]];
p:5.125;
r:1+p/100.0;
n:11;
BW(x):=x[1]/r^x[2];
Barwert:map(BW,Zahlung);
m:length(Barwert);
Ko:sum(Barwert[i],i,1,m);
Kn:Ko*r^n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-886888242

Aufgaben:
(Ausgangssituation ist immer die Grundaufgabe)

  1. Wie hoch ist der Endwert, wenn der Zinssatz auf 3% verringert wird?
  2. Wie hoch ist der Endwert, wenn die zweite Zahlung um € 2000,– höher ist und der Zinssatz nur 1,5% beträgt?
  3. Wie ist es, wenn die fünfte Zahlung erst nach 7 Jahren erfolgt?

Erklärung des Programms:

code

  1. Liste mit Zahlungen und Fälligkeit (in jahren nach Beginn) -> EINGABE
  2. Zinssatz in % dek. p.a. –> EINGABE
  3. Berechnung de Aufzinsungsfaktors
  4. Laufzeit in Jahren –> EINGABE
  5. Barwertfunktion mit Liste als Argument
  6. Anwendung der Barwertfunktion auf die Zahlungsliste
  7. Länge der Barwertliste
  8. Summe aller Barwerte („Anfangskapital“)
  9. Endwert (Endkapital)
  10. Runden des Endkapitals auf zwei Nachkommastellen

 

Aufgaben zu sechs allgemeinen Dreiecken

Die sechs gegebenen Dreiecke findet man hier: http://www.lungau-academy.at/box/Dreieck_01

Ganz wichtig: es sollen auf Basis der Zeichnungen Aufgaben formuliert werden (Lehren lernen!).

Aufgaben (beispielsweise):

  1. Zeichne die Dreiecke mit Geogebra
  2. Bezeichne die Eckpunkte in üblicher Weise.
  3. Bestimme die Seitenlängen.
  4. Bestimme die Flächen.
  5. Bestimme die Höhen
  6. Bestimme die Winkel.
  7. Bei den Aufgaben sollen auch CAS Maxima und GeoGebraCas angewendet werden (Kontrollrechnungen).

Hier ist ein leeres Zeichenblatthttp://www.geogebratube.org/student/m96676
(Ausgabe entweder als Screenshot oder PDF-Druck des Browsers).

Zinseszinsrechnung mit tabellarischer Ausgabe

Aufgabe:

Eine Anzahl m von Aufgaben zur Zinseszinsrechnung ist zu lösen. Gesucht ist das Endkapital.

Programmcode:

Ko:[1000,1000,2000,3000,4000,5000];
p:[3,2.25,1.875,2.5,3,2.785];
n:[10,10,9,3,7,6];
i:p/100.0;
r:1+i;
m:length(Ko);
Kn:makelist(Ko[i]*r[i]^n[i],i,1,m);
Liste:makelist([Ko[i],p[i],n[i],Kn[i]],i,1,m);
print("");
printf(true,"~{~{~9,2f ~}~%~}",Liste);

Ko : Anfangskapital
p : Zinssatz dek. p.a.
n : Laufzeit in Jahren
i : Zinssatz als Dezimalzahl
Kn : Endkapital

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-862965041

Bessere Version: http://maxima-online.org/?inc=r-239382725

Eine sehr elegante Lösung, allerdings ohne tabellarische Ausgabe:
http://maxima-online.org/?inc=r-995003097