Kombinatorik mit GeoGebraCAS

Ein leeres CAS-Sheet auf Geogebra-Tube ist sehr praktisch! Man beachte den Link. http://www.geogebratube.org/student/m96860

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Aufgabe: Lösung der angezeigten Aufgabe mit Maxima.

Programmcode:

c(n,k):=n!/(k!*(n-k)!);
c(45,6);
c(49,6);
n: [10,11,12];
c(n[1],3);
c(n[2],3);
10!/(3!*7!);

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1244456819

Wenn man es herunterlädt, kann man es mit wxMaxima ausführen (Linux, Windows, MAC).

wxmaxima

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Der Google Taschenrechner

Der Google Taschenrechner (einfach die Google-Suchmaschine) kann

  1. problemlos verwendet werden, zur Aktivierung muss man eine einfache Rechnung suchen, z.B. 1+1=  und
  2. auch als Ausgangspunkt für Problemstellungen dienen!

http://youtu.be/pik_oxIwuAE

Anmerkung: in diesem Youtube-Video wird auch berechnet, wie viele Möglichkeiten es beim österreichischen Lotto 6 aus 45 geht (Kombinatorik).

Aufgaben:

Man bearbeite den Inhalt des obigen Filmes mit
a) Maxima und
b) Geogebra.

Ob mit Geogebra in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw, Kombinatorik auch etwas geht?
Antwort: JA!

Fakultäten:

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Lottoaufgabe:

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Der Kauf eines Taschenrechners ist überflüssig.

Aufgaben:

Man berechne mit dem Google Taschenrechner:

rwdr-tabelle

Man mache auch Kontrollrechnungen mit Maxima-Online!

Bemerkenswert

VORWORT

MAXIMA ONLINE von Filip Petruželka in Tschechien ist ein tolles Werkzeug! 


Bei https://casmaxima.wordpress.com handelt es sich um interaktive Unterlagen (ungeordnet, aber unter „Fachgebiete“ kategorisiert) für einen zeitgemäßen Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Es sind keine besonderen Programminstallationen erforderlich.

Achtung: die Arbeit hier wird nicht weiterentwickelt. Die Inhalte wurden in http://www.weilharter.info übergeführt.

Die Unterlagen sind unabhängig vom Betriebssystem auf praktisch allen Geräten mit Internetanschluss einsatzfähig, vom kleinen Smartphone bis zum großen Smartboard!

geeignet

Implikation und Äquivalenz

Hintergrund:

Die Aussagenlogik ist ein Teilgebiet der Logik, das sich mit Aussagen und deren Verknüpfung befasst, ausgehend von Elementaraussagen, denen ein Wahrheitswert (wahr oder falsch)  zugeordnet wird. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen.

Man berechne die Implikation mit Listenverarbeitung
(Abbildung aus einem Skriptum des Jahres 2003)

Implikation

Programmcode:

imp(a,b):= not a or b;
A:{true,false};
W:listify(cartesian_product(A,A));
f(x):=imp(x[1],x[2]);
ERG:map(f,W);
WT:[transpose(W),transpose(ERG)];

Erläuterungen dazu:

1. imp(a,b) ist eine benutzerdefinierte Funktion in zwei Variablen
2. eine Aussage kann wahr oder falsch sein
3. cartestian_product(A,B) ist die Produktmenge AxA, listify macht
   aus der Menge eine Liste
4. Funktion mit einem geordneten Paar als Argument
5. map erzeugt das elementweise Ergebnis der Implikation
6. mit transpose entsteht eine spaltenweise Darstellung

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r2019918161

Aufgabe: Man ändere bzw. ergänze die Implikation auf Äquivalenz eqv(a,b):=imp(a,b) and imp(b,a);

Programmcode:

imp(a,b):= not a or b;
eqv(a,b):=imp(a,b) and imp(b,a);
A:{true,false};
W:listify(cartesian_product(A,A));
f(x):=imp(x[1],x[2]);
g(x):=eqv(x[1],x[2]);
ERG1:map(f,W);
ERG2:map(g,W);
WT:[transpose(W),transpose(ERG1)];
WT:[transpose(W),transpose(ERG2)];

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r234229047

Lineare Gleichungen

Grundaufgabe:

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Man erfinde 10 lineare Gleichungen und ermittle ihre Lösungen mit Maxima Online,

  • zuerst einzeln und dann
  • mit Listenverarbeitung.

Programmcode mit Listenverarbeitung:

g:[
(x-3)+(x-5)-(x+4)=3,
3*(x+4)-2*(x+8)=5*(x-3),
-4*(x-8)+a*(x-3)=b
];
makelist(solve(g[i],x),i,1,length(g));

Probelauf mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-994707242

Vermischte Aufgaben

Maxima-Online-Beispiele

Thema
Link
Betriebsoptimum und langfristige Preisunterrgrenze
Maximaler Umsatz (Maturaball Tombola)
Kleiner-Relation
Volumen eines Drehkegels
Der natürliche Logarithmus kann als Ausnahmefalls bei der Integration von xn angesehen werden!
Berechnung des Endkapitals (Zinseszinsrechnung)
Steigung der Sekante (Differenzenquotient)
Auf Primzahlen prüfen (W. Haager)
Lineare Optimierung (Grundaufgabe)
Wahrheits(werte)tafel der Implikation
Überbestimmtes Gleichungssystem (Pseudoinverse)


Zwei E-Books, gemacht mit PAPYRUSEDITOR

  1. http://papyrusebook.com/web/14543/Kosten-und-Preistheorie
  2. http://papyrusebook.com/web/14529/Finanzmathematik-mit-Maxima-und-Geogebra

Eine tolle Kombination:
BLOGeinträge in WORDPRESS oder BLOGGER als Notizen, E-Books mit PAPYRUSEDITOR als „Reinschrift„.

Anmerkung: Der Papyruseditor von Gaurav Tiwari ist erst die BETA-Version, funktioniert aber schon beeindruckend.

Zinseszins

Zinseszins

Aufgaben der Finanzmathematik  sind besonders gut für die Anwendung eines Computeralgebrasystems geeignet.

Ko = Anfangskapital
p = Zinsatz dekursiv p.a. in Prozent
i = p/100 = Interest (engl.), der Zinssatz als Dezimalzahl
r = Aufzinsungsfaktor
n = Laufzeit (in Jahren)
Kn = Endkapital

Programmcode: http://maxima-online.org/?inc=r1082931755

Ko:1000;
p:3;
n:10;
i:p/100.0;
r:1+i;
Kn:Ko*r**n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1082931755
Mit „finance“-Unterprogramm: http://maxima-online.org/?inc=r10577185 (die Verwendung von Unterprogrammen für so einfache Aufgabenstellung sollte man vermeiden, es sei den, das Unterprogramm wird entweder selbst geschrieben oder wenigstens genau analysiert. Black Box Methoden wie Taschenrechnerverwendung haben wenig Bildungswert).

In diesem Fall wird die benutzerdefinierte Funktion

fv(i,Ko,n):=Ko*(1+i)^n

verwendet, das ist einfach zu verstehen.

Mapping-Übung: http://maxima-online.org/?inc=r1869469945

Übung:
Berechnung des Endkapitals

Anfangskapital Ko Zinssatz in % p Laufzeit n Endkapital Kn
1000,– 3 10  
1500,– 2,5 8  
700,– 2 11  
2000,– 2,125 6  

Das kann man natürlich auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lösen. Aber, es soll natürlich auf möglichst einfache Weise mit Maxima gelöst werden.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Schularbeitsstatistik nach dem österreichischen Notensystem:

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Fragen zum “Aufwärmen”:

  1. Wie viele Schüler/innen haben mitgemacht?
  2. Wie viele Schüler/innen haben die Note 2 = “Gut” bekommen?
  3. Wie viele Schüler/innen haben die Note 5 = “Nicht genügend”
    bekommen?
  4. Wie viele Schüler/innen haben eine positive Note bekommen?

Programmcode für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

X:[1,2,3,4,5];
H:[2,6,3,4,5];
n:length(X);
N:sum(H[i],i,1,n);
P:H/N;
Kontrolle:sum(P[i],i,1,n);

Fragen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schularbeitsnoten:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Note besser 
   als 3 ist?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Note schlechter 
   als 2 ist?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Note 
   bestenfalls 2 ist?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine positive Note?

Berechnungen mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1532874979
mit Fragen: http://maxima-online.org/?inc=r-120341521

Endwert einer nachschüssigen Rente

Endwert einer nachschüssigen Rente

Die Grundaufgabe der Rentenrechnung

Programmcode:

R:5000;
p:4;
n:5;
i:p/100.0;
r:1+i;
E:R*(r**n-1)/i,numer;
E:E*r**2;
E:floor(E*100+0.5)/100.0;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-337318279

Wie könnte die Aufgabenstellung für die folgende Rechnung formuliert sein?
http://maxima-online.org/?inc=r-1823711827