Preisobergrenze und Sättigungsmenge

Aufgabe:

Eine Nachfragefunktion ist gegeben durch p(x) = 0,11 x² -15 x +4,39 im Intervall [0,xs].
xs ist die Sättigungsmenge, wir müssen sie erst bestimmen.

Man bestimme

  1. die Sättigungsmenge und
  2. die Preisobergrenze

und zwar mit dem Geogebrazeichenblatt und mit Maxima Online.

Die notwendigen Programme findest du hier: https://casmaxima.wordpress.com/hilfe/software/

 

 

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Funktionen plotten

Aufgabe:

Man zeichne die Funktionen, die in der folgenden Aufgabe stecken, mit Maxima.

pukg

Programmcode:

p(x):=200-4*x;
plot2d([p(x)],[x,0,50]);

http://maxima-online.org/?inc=r702039463

K(x):=0.1*x^3-2*x^2+25*x+1450;
plot2d([K(x)],[x,0,50];

http://maxima-online.org/?inc=r1446970990

p(x):=200-4*x;
E(x):=p(x)*x;
plot2d([E(x)],[x,0,50]);

http://maxima-online.org/?inc=r1345745471

p(x):=200-4*x;
E(x):=p(x)*x;
K(x):=0.1*x^3-2*x^2+25*x+1450;
G(x):=E(x)-K(x);
plot2d([G(x)],[x,0,50]);

http://maxima-online.org/?inc=r114615560

Einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben:

  1. Messergebnis:[0,0,2,2,5,4,6,0,9,10,6,5,11,6,6,15,14,1,0,17].
    a) Bestimme die Häufigkeiten.
    b) Bestimme W(x>2).
    c) Wie hoch ist der Erwartungswert?
  2. Messergebnis:[1,2,1,0,5,1,5,6,9,7,1,6,12,14,15,3,7,10,8,12,8,9,8,19,24].
    a) Bestimme die Häufigkeiten.
    b) Bestimme W(x>3).
    c) Wie hoch ist der Erwartungswert?
  3. Messergebnis:[0,0,2,2,5,4,6,0,9,2,3,4,10,8,11,0,6,5,11,6,6,15,14,1,0,17].
    a) Bestimme die Häufigkeiten.
    b) Bestimme W(x>1).
    c) Wie hoch ist der Erwartungswert?

Strichliste – Sortieren hilft:

tipp1a

Strichliste zu 1a:
strichliste_1

Vollständige Lösung Tabellenkalkulation:
Tabellenkalkulation lässt sich gut anwenden, hat aber einen kleinen Nachteil: die Anzahl der Messergebnisse erfordert jeweils Anpassungen. Die Ausgabe ist sehr schön, die mathematische Vorgangsweise aber eher weniger transparent.

strichliste_2

Programmcode:

load(descriptive);
x:[0,0,2,2,5,4,6,0,9,10,6,5,11,6,6,15,14,1,0,17];
k:2;
G:discrete_freq(x);
X:G[1];
H:G[2];
n:length(H);
N:sum(H[i],i,1,n);
p:H/N;
W:sum(p[i],i,k+1,n);
E:sum(p[i]*X[i],i,1,n),numer;
E:floor(E*10+0.5)/10.0;

Das Unterprogramm descriptive ermöglicht Gruppierung mit discrete_freq()

Programmcode mit benutzerdefinierter Funktion:

A:[[0,0,2,2,5,4,6,0,9,10,6,5,11,6,6,15,14,1,0,17],2]
/* EINGABE kann verändert werden */;
f(x,k):=block(
load(descriptive),
G:discrete_freq(x),
X:G[1],
H:G[2],
n:length(H),
N:sum(H[i],i,1,n),
p:H/N,
W:sum(p[i],i,k+1,n),
E:sum(p[i]*X[i],i,1,n),numer,
E:floor(E*10+0.5)/10.0,
"Ergebnis"
);
f(A[1],A[2]);
display(W,E);

Ausführung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-1301181831

Programmcode (alle Aufgaben auf einmal):

f(L):=block(
load(descriptive),
Ergebnis:[],
G:discrete_freq(L[1]),
X:G[1],
H:G[2],
n:length(H),
N:sum(H[i],i,1,n),
p:H/N,
W:sum(p[i],i,L[2]+1,n),
E:sum(p[i]*X[i],i,1,n),numer,
E:floor(E*10+0.5)/10.0,
Ergebnis:append(Ergebnis,[W,E])
);
Aufgaben: matrix(
[[0,0,2,2,5,4,6,0,9,10,6,5,11,6,6,15,14,1,0,17],2],
[[1,2,1,0,5,1,5,6,9,7,1,6,12,14,15,3,7,10,8,12,8,9,8,19,24],3],
[[0,0,2,2,5,4,6,0,9,2,3,4,10,8,11,0,6,5,11,6,6,15,14,1,0,17],1]
)
/* Eingabe darf geändert werden */;
A:args(Aufgaben);
map(f,A);

Es gibt also 3 wesentliche Schritte:

pap

Die Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-607858086

Hinweis: ohne Computerunterstützung ist die Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit anzuraten.

Extremwerte

Aufgabe: Das Maximum in der folgenden Grafik muss rechnerisch nachgeprüft werden.

Kubische_Parabel

 

Rechnerische Kontrolle mit Maxima-Online:
http://maxima-online.org/?inc=r819714133

Übung: Man kontrolliere die Extremwerte durch Berechnung mit CAS Maxima http://maxima.online.org
Man kann sich auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt einen Überblick verschaffen: http://www.geogebratube.org/student/m96676

MAXI_MO
Programmcode dazu:

Punkt: matrix(
[-3,0],
[0,-1],
[3,2],
[6,0]
);
Punkt:args(Punkt);
f(x):=x[2]=a*x[1]^3+b*x[1]^2+c*x[1]+d;
g:map(f,Punkt);
l:solve(g,[a,b,c,d]);
KP:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,l;

ratprint:false;
e:solve(diff(rhs(KP),x)=0,x),numer;
x1:x,e[1];x2:x,e[2];
y1:rhs(KP),x=x1;y2:rhs(KP),x=x2;
x1:floor(x1*100+0.5)/100.0;x2:floor(x2*100+0.5)/100.0;
y1:floor(y1*100+0.5)/100.0;y2:floor(y2*100+0.5)/100.0;
Extremwerte:[[x1,y1],[x2,y2]];

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r2087016275

Gerade durch 2 Punkte

Aufgabe; Geradengleichung mit Geogebra

a) einfach zeichnen oder
b) polynom[{A,B}] image 

Lösung mit Maxima Online
http://maxima-online.org/?inc=r1437297732

 

Wir brauchen das für die Berechnung von linearen Funktionen in der Kosten und Preistheorie. Am ehesten für die Berechnung einer linearen Kostenfunktion. Und häufig zur Berechnung der Nachfragefunktion.

Nullstellen einer Polynomfunktion

Aufgabe: Die Nullstellen einer gegebenen Polynomfunktion 4. Grades sind zu bestimmen.

Programmcode:

p4(x):=x^4-x^3-10*x^2-x+1;
l1:realroots(p4(x));
l1:l1,numer;
l2:allroots(p4(x));
l3:solve(p4(x)=0,x);
l3:l3,numer;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1272412770

Anmerkung: warum eine der vier Lösungen mit realroots() von den anderen Ergebnissen abweicht ist mir nicht geläufig.

Man löse diese Aufgabe auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt! http://www.geogebratube.org/student/m132327
Wie das geht, sieht man im Youtube-Video: http://youtu.be/ZWbc0EWL3ko
Unbedingt selbst ausprobieren!

Anmerkung: Ohne Computereinsatz wäre diese Aufgabe wohl sehr schwierig und rechenaufwändig. Man sollte sich Gedanken darüber machen, dass das kaum geht. Auch das sogenannte Newtonsche Näherungsverfahren (dazu braucht man die erste Ableitung der Polynomfunktion) und wenigstens ein Tabellenkalkulationsprogramm. Mit  einem Taschenrechner kann das schon viel Tipparbeit sein.

Übung 1:
Zeige, dass die Funktion p3(x)=x^3+x-1 nur eine reelle und dafür zwei komplexe Lösungen hat!

Übung 2: (Kleingruppenarbeit)

Mit dem Geogebra-Zeichenblatt http://www.geogebratube.org/student/m132327 kann man mit polynom[{A,B,C,D,E}] Beispiele für Polynome 4. Grades erzeugen die

  • 4 Nullstellen,
  • 2 Nullstelle oder
  • gar keine Nullstelle

haben.

Polynome 5. Grades aus 6 Punkten und

  • 1 Nullstelle,
  • 3 Nullstellen und
  • 5 Nullstellen

sollten auch zu finden sein.

Damit kann man das Geogebra-Ergebnis nachrechnen:
http://maxima-online.org/?inc=r-1061486953

Es gibt geeignete Funktionen siehe http://maxima-online.org/?inc=r-1058806523, aber man soll seine Beispiele mit dem Geogebra-Zeichenblatt finden.

Im Geogebra Formelrechner http://www.geogebratube.org/student/m96860 muss man die imaginäre Einheit mit ALT+i eingeben! Abschluss einer Zeilen mit ENTER, SHIFT+ENTER und STRG+ENTER haben unterschiedliche Auswirkungen.

Wir konstruieren eine Polynomfunktion 4. Grades!

keine_Nullstellen

Fischverkauf

Aufgabe: Der Fischverkäufer

Ein Junge züchtet Goldfische als Hobby. Eines Tages beschließt er, alle Fische zu verkaufen. Er tut es in fünf Schritten:
1. Er verkauft die Hälfte seiner Fische und einen halben Fisch.
2. Er verkauft ein Drittel des Restes und einen drittel Fisch.
3. Er verkauft von dem, was ihm bleibt, ein Viertel und einen viertel Fisch.
4. Er verkauft ein Fünftel des Restes und einen fünftel Fisch.

Nun hat er noch 11 Goldfische übrig. Natürlich wird kein Fisch zerteilt oder irgendwie verletzt. Wie viele Fische hatte er am Anfang?

Aus J. Weilharter, Spaß mit Algorithmen, Seite 28ff

Programmcode:

g1:x1=x-(x/2+1/2);
g2:x2=x1-(x1/3+1/3);
g3:x3=x2-(x2/4+1/4);
g4:x4=x3-(x3/5+1/5);
g5:x4=11;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5],[x,x1,x2,x3,x4]);

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1387132335

 

Sein oder nicht Sein

Aufgabe:
Tautologien sind immer wahr!

Man zeige: „Be or not to be“ ist eine Tautologie!
http://de.wikipedia.org/wiki/Sein_oder_Nichtsein,_das_ist_hier_die_Frage

Programmcode:
Version 1

n(u):=1-u;
o(x,y):=x+y-x*y;
bnb(x,y):=o(x,n(x));
bnb(1,1);
bnb(1,0);
bnb(0,1);
bnb(0,0);

Version 2

n(u):=1-u;
o(u,v):=u+v-u*v;
bnb(x):=o(x[1],n(x[1]));
W:{1,0};
WT:reverse(listify(cartesian_product(W,W)));
Result:map(bnb,WT);
[transpose(WT),transpose(Result)];

Version 3

n(u):=not u;
o(u,v):=u or v;
bnb(x):=o(x[1],n(x[1]));
W:{true,false};
WT:reverse(listify(cartesian_product(W,W)));
Result:map(bnb,WT);
[transpose(WT),transpose(Result)];

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-202349713

Verbesserter Algorithmus: http://maxima-online.org/?inc=r-1341626167

Mit Boolescher Algebra: http://maxima-online.org/?inc=r-197911884

Das Geogebra Zeichenblatt (5 Aufgaben)

Geogebra gibt es für viele Betriebssysteme und auch als Google Chrome App. Sehr praktisch sind vorbereitete Arbeitsblätter auf Geogebratube.

Das Zeichenblatt ist ein besonders gutes Beispiel. Den Link des Zeichenblattes sollte man unbedingt in seine Bookmarks aufnehmen!

1. Aufgabe dazu:

dreieck2

Weil man die Koordinaten der Eckpunkte wegen ihrer Ganzzahligkeit leicht ablesen kann, hat man genügend Information für alle denkbaren Berechnungen!

a) Handelt es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck?
b) Wie groß ist die Fläche?
c) Berechne die Winkel!

Youtube-Film (Lösung dieser Aufgabe mit dem Zeichenblatt)
http://youtu.be/X64KPk3p1aA?list=UUhbMAmBYFGnNLkIjp5ViuZw
Man beachte, dass Black Box Methoden nur erlaubt sind, wenn die schnelle Lösungsfindung im Vordergrund steht.
Kontrolle mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r604612323

 

2. Aufgabe dazu:

a) Man zeichne einen Kreis in Mittelpunkt-Lage mit dem 
   Radius 5.
b) Wie lautet die Gleichung des Kreises?
c) Durch Eingabe der Kreisgleichung in der Eingabezeile 
   eines leeren Zeichenblattes kann man die Überein-
   stimmung prüfen.

Youtube Film zu dieser Aufgabe, die man am besten mit Geogebra Lösen kann!

3. Aufgabe dazu:

a) Lösen von linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten.
   3x+4y=7
   8x-y=7
b) Schnittpunkte von Kreis und Gerade bestimmen.
   Kreis: x²+y²=9
   Gerade: y=2x+1

Wir verwenden wieder das Zeichenblatt.

Lösung: http://youtu.be/ABTYOAI–OM

4. Aufgabe dazu:

kreis_und_gerade

1. Eine einzige Zusatzinformation gibt es: der Radius
   des Kreises ist 2 LE.
2. Bestimme die Schnittpunkte mit dem Zeichenblatt.
3. Man löse das System aus Kreisgleichung und Geradengleichung 
   aus dem Algebrafenster 
   a)durch Maxima-Berechnungen oder 
   b)mit Geogebra-CAS.

So kann man vorgehen: http://youtu.be/LiqFTUFWZqE

5. Aufgabe dazu:

parabel

1. Man bestimme die Gleichung der Parabel
   a) mit Geogebra,
   b) mit Maxima.
2. Man bestimme die Nullstellen.
3. Man bestimme den Scheitelpunkt.

Lösungen:
a) http://youtu.be/0U9GFmB9fXY
b) http://maxima-online.org/?inc=r1968885317