Aufgaben Zinseszinsrechnung

Aufgabe:

Einige Aufgaben zur Zinseszinsrechnung.

  • Ko = Anfangskapital
  • p = Zinssatz dekursiv p.a.
  • n = Laufzeit in jahren
  • Kn = Endkapital

max_mi_1

Maxima Online:

Aufgabe Lösung mit Maxima-Önline
Ko=1000, n=8, Kn=1343,92 –> p ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r-253612693
Konventionelle Lösung: http://maxima-online.org/?inc=r1944795690
Ko=3000, p=2,75, Kn=3530,31 –> n ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r214710190
Ko=4000, p=2,625, n=4 –> Kn ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r-1621212001
p=2,5, n=2, Kn=5253,13 –> Ko ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r640342496
Ein Kapital von 1000 € wird mit 8% Zinsen angelegt.

  • In welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?
  • Zeige, dass die Verdopplungszeit nicht davon abhängt, wie groß das Anfangskapital ist!
http://maxima-online.org/?inc=r-599407244
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Waldwachstum mit Zinseszinsformel

Aufgabe:

Vor 10 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 7000 m³. Ohne Schlägerung ist er inzwischen auf 9880 m³ angewachsen. Man darf annehmen, dass das Holzwachstum ein exponentieller Vorgang ist.

  1. Zeige, dass die jährliche Wachstumsrate ca. 3,5% beträgt.
  2. Berechne die Zeitspanne, innerhalb der sich der Holzbestand verdoppelt bzw. verdreifacht.
  3. Man hat vor, in 3 Jahren 3000 m³ Holz zu schlägern. Wann wird dieser Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen?


Code
:

Ko:7000; n:10; Kn1:9880;
r:(Kn1/Ko)^(1/n);
i:r-1;
p:i*100;
Kn:2*Ko; oder Kn:3*Ko;
n:(log(Kn/Ko)/log(r);
Ko:Kn1;
K3:Ko*r^3-3000;
Ko:K3;
Kn:Kn1;
n:log(Kn/Ko)/log(r);

Maxima Online:

http://maxima-online.org/?inc=r-660840810

Anmerkung:

Das mathematische Modell der Zinseszinsrechnung lässt sich auch auf andere Probleme anwenden (Diskretes Wachstum).

Lösungsformeln:

image

Zinseszinsen – grundlegende Aufgaben

Aufgabe:

Es  gibt 4 grundlegende Aufgabenstellungen bei der Verwendung der Zinseszinsformel. Man berechne Beispiele dazu.

Berechnung des Endkapitals
image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1782434007

Berechnung des Anfangskapitals

image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r808784585

Berechnung der Laufzeit in Jahren

image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-374473161

Berechnung des Zinssatzes

image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r1765037634

Zinseszins (Endkapital)

Tafelbild aus dem Jahr 2005:

Zinseszins

Aufgaben der Finanzmathematik  sind besonders gut für die Anwendung eines Computeralgebrasystems geeignet.

Ko = Anfangskapital
p = Zinsatz dekursiv p.a. in Prozent
i = p/100 = Interest (engl.), der Zinssatz als Dezimalzahl
r = Aufzinsungsfaktor
n = Laufzeit (in Jahren)
Kn = Endkapital

Code:

http://maxima-online.org/?inc=r1082931755

Ko:1000;
p:3;
n:10;
i:p/100.0;
r:1+i;
Kn:Ko*r**n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Maxima Online:

http://maxima-online.org/?inc=r1082931755

Dokumentation:

endkapital
Mit „finance“-Unterprogramm:

http://maxima-online.org/?inc=r10577185

Anmerkung:

Die Verwendung von Unterprogrammen für so einfache Aufgabenstellungen sollte man vermeiden, es sei denn, das Unterprogramm wird entweder selbst geschrieben oder wenigstens genau analysiert. Black Box Methoden wie Taschenrechnerverwendung haben wenig Bildungswert).In diesem Fall wird die benutzerdefinierte Funktion

fv(i,Ko,n):=Ko*(1+i)^n

verwendet, das ist einfach zu verstehen.

 

Mapping-Übung:

http://maxima-online.org/?inc=r1869469945

Übung: Berechnung des Endkapitals

Das kann man natürlich auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lösen. Aber, es soll auf möglichst einfache Weise mit CAS Maxima gelöst werden.

Unregelmäßige Zahlungen

Aufgabe:

Quelle:http://www.lungau-academy.at/Mathematik-Tests/Fuenf_aufeinanderfolgende_Zahlungen.htm

Jemand zahlt sofort 7665 €, nach einem Jahr 4840 €, nach zwei Jahren 3526 €, nach drei Jahren 339 € undnach vier Jahren 3820 €. Bei einem Zinssatz von 5.125 % ergibt sich nach 11 Jahren das Endkapital Kn €.


Code
:

Zahlung:[[7665,0],[4840,1],[3526,2],[339,3],[3820,4]];
p:5.125;
r:1+p/100.0;
n:11;
BW(x):=x[1]/r^x[2];
Barwert:map(BW,Zahlung);
m:length(Barwert);
Ko:sum(Barwert[i],i,1,m);
Kn:Ko*r^n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Maxima Online:

http://maxima-online.org/?inc=r-886888242

Weitere Aufgaben:
(Ausgangssituation ist immer die Grundaufgabe)

  1. Wie hoch ist der Endwert, wenn der Zinssatz auf 3% verringert wird?
  2. Wie hoch ist der Endwert, wenn die zweite Zahlung um € 2000,– höher ist und der Zinssatz nur 1,5% beträgt?
  3. Wie ist es, wenn die fünfte Zahlung erst nach 7 Jahren erfolgt?

Erklärung des Programms:

code

  1. Liste mit Zahlungen und Fälligkeit (in jahren nach Beginn) -> EINGABE
  2. Zinssatz in % dek. p.a. –> EINGABE
  3. Berechnung de Aufzinsungsfaktors
  4. Laufzeit in Jahren –> EINGABE
  5. Barwertfunktion mit Liste als Argument
  6. Anwendung der Barwertfunktion auf die Zahlungsliste
  7. Länge der Barwertliste
  8. Summe aller Barwerte („Anfangskapital“)
  9. Endwert (Endkapital)
  10. Runden des Endkapitals auf zwei Nachkommastellen

wxMaxima:

Geogebra CAS:

 

 

Zinseszinsen mit tabellarischer Ausgabe

Aufgabe:

Eine Anzahl m von Aufgaben zur Zinseszinsrechnung ist zu lösen. Gesucht ist das Endkapital.


Code:


Ko:[1000,1000,2000,3000,4000,5000];
p:[3,2.25,1.875,2.5,3,2.785];
n:[10,10,9,3,7,6];
i:p/100.0;
r:1+i;
m:length(Ko);
Kn:makelist(Ko[i]*r[i]^n[i],i,1,m);
Liste:makelist([Ko[i],p[i],n[i],Kn[i]],i,1,m);
print("");
printf(true,"~{~{~9,2f ~}~%~}",Liste);

Ko : Anfangskapital
p : Zinssatz dek. p.a.
n : Laufzeit in Jahren
i : Zinssatz als Dezimalzahl
Kn : Endkapital

Maxima Online 01:

http://maxima-online.org/?inc=r-862965041

Maxima Online 02:

http://maxima-online.org/?inc=r-239382725

Maxima Online 03:
Mit map(<Funktion>,<Liste>), allerdings ohne tabellarische Ausgabe.

http://maxima-online.org/?inc=r-995003097

Tabellarische Ausgabe der Zinsen

Aufgabe:

Für einen Anzahl von Aufgaben sind die Zinsen nach der Tagesformel zu berechnen.


Code 01
:

K:[1000,2000,3000,4000,5000];
p:[2.25,1.875,2.5,3,2.785];
t:[180,90,360,270,360];
Z:K*p*t/36000.0;
n:length(K);
Liste:makelist([K[i],p[i],t[i],Z[i]],i,1,n);
print("");
printf(true,"~{~{~9,2f ~}~%~}",Liste);

Maxima Online 01:

http://maxima-online.org/?inc=r284031028

Maxima Online 02: Listen zu einer Aufgabentabelle zusammenfassen.

http://maxima-online.org/?inc=r-806702196

Maxima Online 03: Berechnung der Zinsen mit einer Funktion.

http://maxima-online.org/?inc=r-1092873340

Code 03:

Aufgabe:[[1000, 2.25, 180], [2000, 1.875, 90], [3000, 2.5, 360],
[4000, 3, 270],[5000, 2.785, 360]];
m:length(Aufgabe);
Zinsen(x):=floor(x[1]*x[2]*x[3]/36000.0*100+0.5)/100.0;
map(Zinsen,Aufgabe);