Extremwerte

Aufgabe: Das Maximum in der folgenden Grafik muss rechnerisch nachgeprüft werden.

Kubische_Parabel

 

Rechnerische Kontrolle mit Maxima-Online:
http://maxima-online.org/?inc=r819714133

Übung: Man kontrolliere die Extremwerte durch Berechnung mit CAS Maxima http://maxima.online.org
Man kann sich auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt einen Überblick verschaffen: http://www.geogebratube.org/student/m96676

MAXI_MO
Programmcode dazu:

Punkt: matrix(
[-3,0],
[0,-1],
[3,2],
[6,0]
);
Punkt:args(Punkt);
f(x):=x[2]=a*x[1]^3+b*x[1]^2+c*x[1]+d;
g:map(f,Punkt);
l:solve(g,[a,b,c,d]);
KP:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,l;

ratprint:false;
e:solve(diff(rhs(KP),x)=0,x),numer;
x1:x,e[1];x2:x,e[2];
y1:rhs(KP),x=x1;y2:rhs(KP),x=x2;
x1:floor(x1*100+0.5)/100.0;x2:floor(x2*100+0.5)/100.0;
y1:floor(y1*100+0.5)/100.0;y2:floor(y2*100+0.5)/100.0;
Extremwerte:[[x1,y1],[x2,y2]];

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r2087016275

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Das Geogebra Zeichenblatt (5 Aufgaben)

Geogebra gibt es für viele Betriebssysteme und auch als Google Chrome App. Sehr praktisch sind vorbereitete Arbeitsblätter auf Geogebratube.

Das Zeichenblatt ist ein besonders gutes Beispiel. Den Link des Zeichenblattes sollte man unbedingt in seine Bookmarks aufnehmen!

1. Aufgabe dazu:

dreieck2

Weil man die Koordinaten der Eckpunkte wegen ihrer Ganzzahligkeit leicht ablesen kann, hat man genügend Information für alle denkbaren Berechnungen!

a) Handelt es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck?
b) Wie groß ist die Fläche?
c) Berechne die Winkel!

Youtube-Film (Lösung dieser Aufgabe mit dem Zeichenblatt)
http://youtu.be/X64KPk3p1aA?list=UUhbMAmBYFGnNLkIjp5ViuZw
Man beachte, dass Black Box Methoden nur erlaubt sind, wenn die schnelle Lösungsfindung im Vordergrund steht.
Kontrolle mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r604612323

 

2. Aufgabe dazu:

a) Man zeichne einen Kreis in Mittelpunkt-Lage mit dem 
   Radius 5.
b) Wie lautet die Gleichung des Kreises?
c) Durch Eingabe der Kreisgleichung in der Eingabezeile 
   eines leeren Zeichenblattes kann man die Überein-
   stimmung prüfen.

Youtube Film zu dieser Aufgabe, die man am besten mit Geogebra Lösen kann!

3. Aufgabe dazu:

a) Lösen von linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten.
   3x+4y=7
   8x-y=7
b) Schnittpunkte von Kreis und Gerade bestimmen.
   Kreis: x²+y²=9
   Gerade: y=2x+1

Wir verwenden wieder das Zeichenblatt.

Lösung: http://youtu.be/ABTYOAI–OM

4. Aufgabe dazu:

kreis_und_gerade

1. Eine einzige Zusatzinformation gibt es: der Radius
   des Kreises ist 2 LE.
2. Bestimme die Schnittpunkte mit dem Zeichenblatt.
3. Man löse das System aus Kreisgleichung und Geradengleichung 
   aus dem Algebrafenster 
   a)durch Maxima-Berechnungen oder 
   b)mit Geogebra-CAS.

So kann man vorgehen: http://youtu.be/LiqFTUFWZqE

5. Aufgabe dazu:

parabel

1. Man bestimme die Gleichung der Parabel
   a) mit Geogebra,
   b) mit Maxima.
2. Man bestimme die Nullstellen.
3. Man bestimme den Scheitelpunkt.

Lösungen:
a) http://youtu.be/0U9GFmB9fXY
b) http://maxima-online.org/?inc=r1968885317

Tangenten und ihre Hüllkurve

Aufgabe:

Die Tangenten an y=x² im Bereich [-5,5] sind zu ermitteln und in einer Grafik darzustellen. Wenn man die Funktion auch einzeichnet, ergibt sich eine Hüllkurve für die Tangenten.

Die Lösung soll schrittweise entwickelt werden. Wo liegen die Schwächen der einzelnen Programmversionen? Es soll eine Anwendung auch auf andere Funktionen möglich werden.

Lösungsüberlegungen:

  1. Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1294288297
  2. Mit Hüllkurve: http://maxima-online.org/?inc=r2099680601
  3. Mit Ermittlung der Tangentengleichung: http://maxima-online.org/?inc=r872193857
  4. Verbesserte Plot-Anweisung: http://maxima-online.org/?inc=r384379534

Programmcode:

p(x):=x^2;
ab:diff(p(x),x);
k:ab,x=a;
f:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,-5,5);
f:2*a*(x-a)+a^2;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,-5,5]);

Die Ausführung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-857523419
Eine weitere Programmverbesserung: http://maxima-online.org/?inc=r-873546065 (es wäre noch interessant, wenn geeignete Bereichsgrenzen automatisch ermittelt werden könnten)

Programmcode mit Eingabe der Grenzen:

p(x):=-x^2;
D:[-20,20];
ab:diff(p(x),x);
k:ev(ab,x=a);
g:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,D[1],D[2]);
f:''g;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,D[1],D[2]]);

Ergebnis für p(x)=x² und D:[-5,5]:

parabel_tangenten

Polynomfunktion berechnen und zeichnen

1. Aufgabe: Man berechne die Polynomfunktionen zu den folgenden Punktelisten mit Hilfe von http://maxima-online.org/?inc=r-1848088314 und zeichne diese mit Geogebra oder mit dem Zeichenblatt.

  1. [[0,0],[3,1],[7,4]]
  2. [[-3,0],[0,-5],[4,0],[8,1]]
  3. [[-5,2],[-2,-2],[1,1],[5,3],[8,-2]]

Wie man das Beispiel 1 machen kann, zeigen wir auf Youtube. Der Film wurde unter Windows aufgezeichnet.

2. Aufgabe: Man stelle in einer Kleingruppenarbeit 10 relevante Fragen, die sich aus der ersten Aufgabe ergeben und dokumentiere deren Beantwortung.


Hintergrundinformation zum verwendeten Maxima-Programm: https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/

Geogebrabook zu diesem Thema: http://geogebratube.org/student/b119462#


 

Aufgaben zu sechs allgemeinen Dreiecken

Die sechs gegebenen Dreiecke findet man hier: http://www.lungau-academy.at/box/Dreieck_01

Ganz wichtig: es sollen auf Basis der Zeichnungen Aufgaben formuliert werden (Lehren lernen!).

Aufgaben (beispielsweise):

  1. Zeichne die Dreiecke mit Geogebra
  2. Bezeichne die Eckpunkte in üblicher Weise.
  3. Bestimme die Seitenlängen.
  4. Bestimme die Flächen.
  5. Bestimme die Höhen
  6. Bestimme die Winkel.
  7. Bei den Aufgaben sollen auch CAS Maxima und GeoGebraCas angewendet werden (Kontrollrechnungen).

Hier ist ein leeres Zeichenblatthttp://www.geogebratube.org/student/m96676
(Ausgabe entweder als Screenshot oder PDF-Druck des Browsers).

Teilebedarfsrechnung

Aufgabenstellung:

Teilebedarfsrechnung

Teilebedarfsrechung, auch Stücklistenauflösung genannt, ist eine wichtige Anwendung von linearen Gleichungssystemen in der Wirtschaftspraxis (in Produktionsbetrieben, wie z.B. Tischlereien).

A,B und C sind Rohstoffe, D,E und F Zwischenprodukte. G und H sind die Endprodukte für den Verkauf.

Die Grafik habe ich mit yEd erstellt: http://www.yworks.com/de/products_yed_about.html

Programmcode:

g1:a=3*d+2*e;
g2:b=5*d+4*f;
g3:c=7*d+2*f;
g4:d=2*g+4*h;
g5:e=10*g+3*h;
g6:f=2*g+2*h;
g7:g=200;
g8:h=300;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8],[a,b,c,d,e,f,g,h]);
Rohstoffbedarf:[a,b,c],l;

Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r1098012049

Ergebnis für die Rohstoffe A,B,C:

 [10600, 12000, 13200]

Eine Übung dazu:

Teilebedarf1

 

Es wurden nur Zahlen verändert, d.h. die Gleichungen müssen neu formuliert werden.