Fieberkurve

Fieberkurve

Wir zeichnen eine „Fieberkurve“!

Programmcode:

X:makelist(i,i,6,18);
Y:[36.1,37.2,36.5,38,39,39.2,38,37,36.1,37.2,36.5,38,37];
plot2d([[‚discrete, X, Y]], [x,6,18]);

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-152978029

 

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Faktorenzerlegung von Termen

Aus einem Skriptum des Jahres 2005:
Faktorenzerlegung von Termen
Gegeben sind 4 quadratische Terme. Wenn möglich, soll eine reelle Faktorenzerlegung gefunden werden.

Aufgabe: Man erstelle eine Lösung mit Listenverarbeitung!

Programmcode:

Term:[x^2-8*x+15,x^2-8*x+16,x^2-8*x+17,x^2-8*x+12];
Faktorisiert:factor(Term);
[transpose(Term),transpose(Faktorisiert)];

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r811096629
mit gezeichneter Term-Liste: http://maxima-online.org/?inc=r263870178

Übungsaufgaben dazu:

  1. Man erstelle Wertetabellen für die gegebenen Terme, skizziere die Wertetabellen und liefere Fotos von den Skizzen ab.
  2. Man erstelle geeignete Termlisten durch Kopfrechnen.
  3. Man erstelle geeignete Termlisten mit Maxima Online.

Für die Weiterarbeit:

Hintergründe:

Maxima:

  • solve()
  • factor()

 

Tangenten und ihre Hüllkurve

Aufgabe:

Die Tangenten an y=x² im Bereich [-5,5] sind zu ermitteln und in einer Grafik darzustellen. Wenn man die Funktion auch einzeichnet, ergibt sich eine Hüllkurve für die Tangenten.

Die Lösung soll schrittweise entwickelt werden. Wo liegen die Schwächen der einzelnen Programmversionen? Es soll eine Anwendung auch auf andere Funktionen möglich werden.

Lösungsüberlegungen:

  1. Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1294288297
  2. Mit Hüllkurve: http://maxima-online.org/?inc=r2099680601
  3. Mit Ermittlung der Tangentengleichung: http://maxima-online.org/?inc=r872193857
  4. Verbesserte Plot-Anweisung: http://maxima-online.org/?inc=r384379534

Programmcode:

p(x):=x^2;
ab:diff(p(x),x);
k:ab,x=a;
f:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,-5,5);
f:2*a*(x-a)+a^2;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,-5,5]);

Die Ausführung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-857523419
Eine weitere Programmverbesserung: http://maxima-online.org/?inc=r-873546065 (es wäre noch interessant, wenn geeignete Bereichsgrenzen automatisch ermittelt werden könnten)

Programmcode mit Eingabe der Grenzen:

p(x):=-x^2;
D:[-20,20];
ab:diff(p(x),x);
k:ev(ab,x=a);
g:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,D[1],D[2]);
f:''g;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,D[1],D[2]]);

Ergebnis für p(x)=x² und D:[-5,5]:

parabel_tangenten

Lineare Regression

Learning App: http://LearningApps.org/view361083

Man kontrolliere die einzelnen Rechnungen mit dem Geogebrazeichenblatt: http://www.geogebratube.org/student/m96676

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-2113822514


Geogebrabook zum Thema: http://geogebratube.org/student/b119441#


Polynomfunktion berechnen und zeichnen

1. Aufgabe: Man berechne die Polynomfunktionen zu den folgenden Punktelisten mit Hilfe von http://maxima-online.org/?inc=r-1848088314 und zeichne diese mit Geogebra oder mit dem Zeichenblatt.

  1. [[0,0],[3,1],[7,4]]
  2. [[-3,0],[0,-5],[4,0],[8,1]]
  3. [[-5,2],[-2,-2],[1,1],[5,3],[8,-2]]

Wie man das Beispiel 1 machen kann, zeigen wir auf Youtube. Der Film wurde unter Windows aufgezeichnet.

2. Aufgabe: Man stelle in einer Kleingruppenarbeit 10 relevante Fragen, die sich aus der ersten Aufgabe ergeben und dokumentiere deren Beantwortung.


Hintergrundinformation zum verwendeten Maxima-Programm: https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/

Geogebrabook zu diesem Thema: http://geogebratube.org/student/b119462#


 

Eine Polynomfunktion zu einer gegebenen Punkteliste bestimmen

Aufgabe:

Zu einer gegebenen (und geeigneten) Liste von Punkte ist die passende Polynomfunktion zu bestimmen. Der Grad des Polynoms ist automatisch um eins kleiner als die Anzahl der Punkte!

Programmcode:

kill(all);
Punkt:[[-3,0],[0,3],[2,0],[5,0]];
n:length(Punkt);
Grad:n-1;
g(x):=x[2]=sum(a[i]*x[1]^(n-i),i,1,Grad)+a[n];
Gleichungen:map(g,Punkt);
Unbekannte:makelist(a[i],i,1,n);
l:solve(Gleichungen,Unbekannte);
y=Unbekannte.makelist(x^(n-i),i,1,n),l;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1848088314

Erklärung der Berechnung: prog-punkte

  1. Löschen aller Speicher (nicht notwendig!).
  2. Liste der gegebenen Punkte –> EINGABE (darf verändert werden).
  3. Anzahl der gegebenen Punkte.
  4. Der Grad des gesuchten Polynoms ist um eins kleiner als die Anzahl der gegebenen Punkte.
  5. Funktionsmuster für die Bestimmungsgleichung der Polynomfunktion.
  6. Das Funktionsmuster auf die Punkteliste anwenden. Die Koordinaten der Punkte werden eingesetzt und die Liste der Gleichungen automatisch erzeugt.
  7. Die Liste der Unbekannten erzeugen. Die Verwendung von indizierten Koeffizienten ist notwendig.
  8. Lösung des Gleichungssystems.
  9. Die gesuchte Funktion mit Skalarmultiplikation (von Vektoren = Listen) erzeugen.

Noch eine Aufgabe inkl. Graph und Faktorenzerlegung:
http://maxima-online.org/?inc=r-1201857931

Diverse Aufgaben zur Kosten- und Preistheorie

Begriffserklärung:
Die Kosten- und Preistheorie ist eine Anwendung der Analysis (Infinitesimalrechnung) auf Fragestellungen der Betriebswirtschaftslehre. Das Anliegen ist, Erklärungsmodelle zu liefern.

Themen:

  • Nachfragefunktion
  • Sättigungsmenge
  • Preisobergrenze
  • Umsatz (Erlös)
  • Kosten
  • Gewinn

Aufgabe 1: Sättigungsmenge
Wenn der Preis sinkt, nimmt die Nachfrage normalerweise zu, bis man bei einem Preis p = 0 GE die Sättigungsmenge erreicht  (Snobeffekt: „Was nichts kostet, ist nichts wert!“).

Programmcode:

p(x):=0.11*x**2-1.5*x+4.39;
l:realroots(p(x)),numer;
xs:x,l[1];
xs:floor(xs*100+0.5)/100.0;

Erklärung:

  1. Gegeben ist eine quadratische Nachfragefunktion.
  2. Wenn der Preis Null ist, erhält man die Sättigungsmenge.
  3. Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, die erste davon ist die Sättigungsmenge.
  4. Die Sättigungsmenge wird auf 2 Dezimalen gerundet.

Lösung mit Maxima Online:

Sättigungsmenge: http://maxima-online.org/?inc=r-1303960272
Mit Probe: http://maxima-online.org/?inc=r-1005449959

Zusatzaufgaben:

  1. Man zeichne die Nachfragefunktion mit Maxima.
  2. Man zeichne die Nachfragefunktion mit Geogebra.
  3. Man ermittle die Sättigungsmenge mit Geogebra.

Aufgabe 2: Preisobergrenze
Wenn der Preis zu hoch wird, sinkt die Nachfrage auf NULL.  Diese Preisobergrenze wird auch als Höchstpreis bezeichnet. Wir bestimmen zunächst eine quadratische Nachfragefunktion aus drei Punkten und berechnen dann die Preisobergrenze.

Programmcode:

Nachfrage:[[0,10],[4,3],[8,0]];
g(X):=X[2]=a*X[1]^2+b*X[1]+c;
g:map(g,Nachfrage);
l:solve(g,[a,b,c]);
p:a*x^2+b*x+c,l;
plot2d([p], [x,0,8]);

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-551113382
mit Berechnung der Preisobergrenze: http://maxima-online.org/?inc=r-969524826

 

 

Berechnung des Endkapitals bei unregelmäßigen Zahlungen

Grundaufgabe:

Quelle: http://www.lungau-academy.at/Mathematik-Tests/Fuenf_aufeinanderfolgende_Zahlungen.htm (bisher nur für Windows getestet).

„“/*
Jemand zahlt sofort 7665 €,
nach einem Jahr 4840 €,
nach zwei Jahren 3526 €,
nach drei Jahren 339 € und
nach vier Jahren 3820 €.
Bei einem Zinssatz von 5.125 %
ergibt sich nach 11 Jahren
das Endkapital Kn €.*/;

Programmcode:

Zahlung:[[7665,0],[4840,1],[3526,2],[339,3],[3820,4]];
p:5.125;
r:1+p/100.0;
n:11;
BW(x):=x[1]/r^x[2];
Barwert:map(BW,Zahlung);
m:length(Barwert);
Ko:sum(Barwert[i],i,1,m);
Kn:Ko*r^n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-886888242

Aufgaben:
(Ausgangssituation ist immer die Grundaufgabe)

  1. Wie hoch ist der Endwert, wenn der Zinssatz auf 3% verringert wird?
  2. Wie hoch ist der Endwert, wenn die zweite Zahlung um € 2000,– höher ist und der Zinssatz nur 1,5% beträgt?
  3. Wie ist es, wenn die fünfte Zahlung erst nach 7 Jahren erfolgt?

Erklärung des Programms:

code

  1. Liste mit Zahlungen und Fälligkeit (in jahren nach Beginn) -> EINGABE
  2. Zinssatz in % dek. p.a. –> EINGABE
  3. Berechnung de Aufzinsungsfaktors
  4. Laufzeit in Jahren –> EINGABE
  5. Barwertfunktion mit Liste als Argument
  6. Anwendung der Barwertfunktion auf die Zahlungsliste
  7. Länge der Barwertliste
  8. Summe aller Barwerte („Anfangskapital“)
  9. Endwert (Endkapital)
  10. Runden des Endkapitals auf zwei Nachkommastellen

 

Zinseszinsrechnung mit tabellarischer Ausgabe

Aufgabe:

Eine Anzahl m von Aufgaben zur Zinseszinsrechnung ist zu lösen. Gesucht ist das Endkapital.

Programmcode:

Ko:[1000,1000,2000,3000,4000,5000];
p:[3,2.25,1.875,2.5,3,2.785];
n:[10,10,9,3,7,6];
i:p/100.0;
r:1+i;
m:length(Ko);
Kn:makelist(Ko[i]*r[i]^n[i],i,1,m);
Liste:makelist([Ko[i],p[i],n[i],Kn[i]],i,1,m);
print("");
printf(true,"~{~{~9,2f ~}~%~}",Liste);

Ko : Anfangskapital
p : Zinssatz dek. p.a.
n : Laufzeit in Jahren
i : Zinssatz als Dezimalzahl
Kn : Endkapital

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-862965041

Bessere Version: http://maxima-online.org/?inc=r-239382725

Eine sehr elegante Lösung, allerdings ohne tabellarische Ausgabe:
http://maxima-online.org/?inc=r-995003097

Einfache Zinsenrechnung mit tabellarischer Ausgabe

Aufgabe:

Für einen Anzahl von Aufgaben sind die Zinsen nach der Tagesformel zu berechnen.

Programmcode:

K:[1000,2000,3000,4000,5000];
p:[2.25,1.875,2.5,3,2.785];
t:[180,90,360,270,360];
Z:K*p*t/36000.0;
n:length(K);
Liste:makelist([K[i],p[i],t[i],Z[i]],i,1,n);
print("");
printf(true,"~{~{~9,2f ~}~%~}",Liste);

Lösung:

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r284031028

Listen zu einer Aufgabentabelle zusammenfassen:
http://maxima-online.org/?inc=r-806702196

Berechnung der Zinsen mit einer Funktion: http://maxima-online.org/?inc=r-1092873340

Programmcode dazu:

Aufgabe:[[1000, 2.25, 180], [2000, 1.875, 90], [3000, 2.5, 360],
[4000, 3, 270],[5000, 2.785, 360]];
m:length(Aufgabe);
Zinsen(x):=floor(x[1]*x[2]*x[3]/36000.0*100+0.5)/100.0;
map(Zinsen,Aufgabe);