Ableitungsregeln II

„*“/* ABLEITUNGSREGELN */;
„*“/* f(x)=sin x*/; f(x):=sin(x);
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=cos x */; f(x):=cos(x);
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=tan x */; f(x):=tan(x);
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=ln x */; f(x):=log(x);
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=exp(x) */; f(x):=exp(x);
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=x^n */; f(x):=x^n;
diff(f(x),x);
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Ableitungsregeln I

Kommentar Maxima
„*“/* ABLEITUNGSREGELN */; powerdisp:true:
„*“/* f(x)=c */; f(x):=c;
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=cx */; f(x):=c*x;
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=u(x)+v(x) */; f(x):=u(x)+v(x);
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=u(x)*v(x) */; f(x):=u(x)*v(x);
diff(f(x),x);
„*“/* f(x)=u(x)/v(x) */; f(x):=u(x)/v(x);
diff(f(x),x),ratsimp;

Aufgaben erstellen

„*“/* AUFGABEN ERSTELLEN */;
„*“/* Quadratische Gleichungen */;
expand((x-3)*(x+5))=0;
expand((x-9)*(x+5))=0;
expand(2*(x-3)*(x+5))=0;
expand(1/3*(x-3)*(x+6))=0;
„*“/* Kubische Parabeln */;
f(x)=integrate(expand((x-3)*(x+5)),x)+3;
f(x)=integrate(expand(1/2*(x-4)*(x+5)),x)+4;
f(x)=integrate(expand(3*(x-9)*(x+5)),x)+100;
f(x)=integrate(expand(4*(x-3)*(x+6)),x)-20;

Umsatzmaximum bei quadratischer Nachfragefunktion

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* NACHFRAGE UND UMSATZ */;
„*“/* Eingabe der Nachfragefunktion */; p(x):=-1/20*x^2-1/5*x+7;
„*“/* Berechnung der Nullstellen, die positive Nullstelle ist die Sättigungsmenge (wie viel wird nachgefragt, wenn man das Produkt verschenkt? */; l:realroots(p(x)),numer;
„*“/* Berechnung der Umsatzfunktion (Umsatz = Menge * Preis) */; U(x):=x*p(x);
„*“/* Berechnung der ersten Ableitung des Umsatzes */; ab:diff(U(x),x);
„*“/* Wir müssen die erste Ableitung NULL setzen, wenn der Umsatz ein Maximum werden soll */; l:realroots(ab),numer;
„*“/* Wenn wir den x-Wert einsetzen, erhalten wir den maximalen Umsatz */; U_max:ev(U(x),l[2]),numer;

Quadratische Nachfragefunktion

„*“/* BERECHNUNG DES MAXIMALEN UMSATZES */;
„*“/* Eingabe der Nachfragefunktion */;
p(x):=-1/20*x^2-1/5*x+7;
„*“/* Berechnungen */;
po:p(0);
l:realroots(p(x));
xs:ev(x,l[2]);
U(x):=x*p(x);
ab:diff(U(x),x);
l:realroots(ab);
xm:ev(x,l[2]);
xm:floor(xm*10+0.5)/10.0;
pm:p(xm);
Um:xm*pm;
„*“/* Ausgabe der gesamten Aufgabe */;
print(„“);
Zusammenstellung: matrix(
[„Nachfrage p(x)“,p(x)],
[„Preisobergrenze“,po],
[„Saettigungsmenge“,xs],
[„Umsatz U(x)“,U(x)],
[„x_max“,xm],
[„p_max“,pm],
[„U_max“,Um]
);

Flächenintegral

Aufgabe:
Man kontrolliere die Flächenberechnung laut Geogebra. Die Funktion darf als gegeben angenommen werden.

loesmi

Programmcode:

ratprint:false;

f(x):=0.1*x^3-0.4*x^2-1.1*x+3;
F(x):=integrate(f(x),x);
F(x);

F1:integrate(f(x),x,-3,2),numer;
F2:integrate(f(x),x,2,5),numer;
F:F1-F2,numer;

r(x):=floor(x*100+0.5)/100.0;
map(r,[F1,F2,F]);

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r386760919

Ergebnis mit Maxima:

Teilfläche_1 Teilfläche_2 Gesamtfläche
11,46 FE 2,92 FE 14,38 FE

 

Kubische Polynomfunktion

Grundaufgabe:
maxdo

Lösungsweg:
Es sind vier Punkte gegeben. Dass es sich um offenbar um Extremwerte und Nullstellen handelt, spielt vorläufig keine Rolle.
In Geogebra http://www.geogebratube.org/student/m96676 kann man Punkte mit nicht ganzzahligen Koordinaten nicht direkt eingeben. Man muss die Eingabezeile verwenden.

  • Format der Eingabe: Punkt = (x,y)
  • Wenn alle Punkte eingegeben sind erzeugen wird die Kubische Parabel mit polynom({A,B,C,D}) und notieren diese.

ergebnisgeogebra

Man kann die Funktion auch mit Maxima Online gemäß https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/ bestimmen! Einfach die Punkte in die Punkteliste eintragen!

Extremwerte

Aufgabe: Das Maximum in der folgenden Grafik muss rechnerisch nachgeprüft werden.

Kubische_Parabel

 

Rechnerische Kontrolle mit Maxima-Online:
http://maxima-online.org/?inc=r819714133

Übung: Man kontrolliere die Extremwerte durch Berechnung mit CAS Maxima http://maxima.online.org
Man kann sich auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt einen Überblick verschaffen: http://www.geogebratube.org/student/m96676

MAXI_MO
Programmcode dazu:

Punkt: matrix(
[-3,0],
[0,-1],
[3,2],
[6,0]
);
Punkt:args(Punkt);
f(x):=x[2]=a*x[1]^3+b*x[1]^2+c*x[1]+d;
g:map(f,Punkt);
l:solve(g,[a,b,c,d]);
KP:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,l;

ratprint:false;
e:solve(diff(rhs(KP),x)=0,x),numer;
x1:x,e[1];x2:x,e[2];
y1:rhs(KP),x=x1;y2:rhs(KP),x=x2;
x1:floor(x1*100+0.5)/100.0;x2:floor(x2*100+0.5)/100.0;
y1:floor(y1*100+0.5)/100.0;y2:floor(y2*100+0.5)/100.0;
Extremwerte:[[x1,y1],[x2,y2]];

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r2087016275

Nullstellen einer Polynomfunktion

Aufgabe: Die Nullstellen einer gegebenen Polynomfunktion 4. Grades sind zu bestimmen.

Programmcode:

p4(x):=x^4-x^3-10*x^2-x+1;
l1:realroots(p4(x));
l1:l1,numer;
l2:allroots(p4(x));
l3:solve(p4(x)=0,x);
l3:l3,numer;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1272412770

Anmerkung: warum eine der vier Lösungen mit realroots() von den anderen Ergebnissen abweicht ist mir nicht geläufig.

Man löse diese Aufgabe auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt! http://www.geogebratube.org/student/m132327
Wie das geht, sieht man im Youtube-Video: http://youtu.be/ZWbc0EWL3ko
Unbedingt selbst ausprobieren!

Anmerkung: Ohne Computereinsatz wäre diese Aufgabe wohl sehr schwierig und rechenaufwändig. Man sollte sich Gedanken darüber machen, dass das kaum geht. Auch das sogenannte Newtonsche Näherungsverfahren (dazu braucht man die erste Ableitung der Polynomfunktion) und wenigstens ein Tabellenkalkulationsprogramm. Mit  einem Taschenrechner kann das schon viel Tipparbeit sein.

Übung 1:
Zeige, dass die Funktion p3(x)=x^3+x-1 nur eine reelle und dafür zwei komplexe Lösungen hat!

Übung 2: (Kleingruppenarbeit)

Mit dem Geogebra-Zeichenblatt http://www.geogebratube.org/student/m132327 kann man mit polynom[{A,B,C,D,E}] Beispiele für Polynome 4. Grades erzeugen die

  • 4 Nullstellen,
  • 2 Nullstelle oder
  • gar keine Nullstelle

haben.

Polynome 5. Grades aus 6 Punkten und

  • 1 Nullstelle,
  • 3 Nullstellen und
  • 5 Nullstellen

sollten auch zu finden sein.

Damit kann man das Geogebra-Ergebnis nachrechnen:
http://maxima-online.org/?inc=r-1061486953

Es gibt geeignete Funktionen siehe http://maxima-online.org/?inc=r-1058806523, aber man soll seine Beispiele mit dem Geogebra-Zeichenblatt finden.

Im Geogebra Formelrechner http://www.geogebratube.org/student/m96860 muss man die imaginäre Einheit mit ALT+i eingeben! Abschluss einer Zeilen mit ENTER, SHIFT+ENTER und STRG+ENTER haben unterschiedliche Auswirkungen.

Wir konstruieren eine Polynomfunktion 4. Grades!

keine_Nullstellen