Kubische Polynomfunktion

Grundaufgabe:
maxdo

Lösungsweg:
Es sind vier Punkte gegeben. Dass es sich um offenbar um Extremwerte und Nullstellen handelt, spielt vorläufig keine Rolle.
In Geogebra http://www.geogebratube.org/student/m96676 kann man Punkte mit nicht ganzzahligen Koordinaten nicht direkt eingeben. Man muss die Eingabezeile verwenden.

  • Format der Eingabe: Punkt = (x,y)
  • Wenn alle Punkte eingegeben sind erzeugen wird die Kubische Parabel mit polynom({A,B,C,D}) und notieren diese.

ergebnisgeogebra

Man kann die Funktion auch mit Maxima Online gemäß https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/ bestimmen! Einfach die Punkte in die Punkteliste eintragen!

Extremwerte

Aufgabe: Das Maximum in der folgenden Grafik muss rechnerisch nachgeprüft werden.

Kubische_Parabel

 

Rechnerische Kontrolle mit Maxima-Online:
http://maxima-online.org/?inc=r819714133

Übung: Man kontrolliere die Extremwerte durch Berechnung mit CAS Maxima http://maxima.online.org
Man kann sich auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt einen Überblick verschaffen: http://www.geogebratube.org/student/m96676

MAXI_MO
Programmcode dazu:

Punkt: matrix(
[-3,0],
[0,-1],
[3,2],
[6,0]
);
Punkt:args(Punkt);
f(x):=x[2]=a*x[1]^3+b*x[1]^2+c*x[1]+d;
g:map(f,Punkt);
l:solve(g,[a,b,c,d]);
KP:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,l;

ratprint:false;
e:solve(diff(rhs(KP),x)=0,x),numer;
x1:x,e[1];x2:x,e[2];
y1:rhs(KP),x=x1;y2:rhs(KP),x=x2;
x1:floor(x1*100+0.5)/100.0;x2:floor(x2*100+0.5)/100.0;
y1:floor(y1*100+0.5)/100.0;y2:floor(y2*100+0.5)/100.0;
Extremwerte:[[x1,y1],[x2,y2]];

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r2087016275

Tangenten und ihre Hüllkurve

Aufgabe:

Die Tangenten an y=x² im Bereich [-5,5] sind zu ermitteln und in einer Grafik darzustellen. Wenn man die Funktion auch einzeichnet, ergibt sich eine Hüllkurve für die Tangenten.

Die Lösung soll schrittweise entwickelt werden. Wo liegen die Schwächen der einzelnen Programmversionen? Es soll eine Anwendung auch auf andere Funktionen möglich werden.

Lösungsüberlegungen:

  1. Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1294288297
  2. Mit Hüllkurve: http://maxima-online.org/?inc=r2099680601
  3. Mit Ermittlung der Tangentengleichung: http://maxima-online.org/?inc=r872193857
  4. Verbesserte Plot-Anweisung: http://maxima-online.org/?inc=r384379534

Programmcode:

p(x):=x^2;
ab:diff(p(x),x);
k:ab,x=a;
f:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,-5,5);
f:2*a*(x-a)+a^2;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,-5,5]);

Die Ausführung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-857523419
Eine weitere Programmverbesserung: http://maxima-online.org/?inc=r-873546065 (es wäre noch interessant, wenn geeignete Bereichsgrenzen automatisch ermittelt werden könnten)

Programmcode mit Eingabe der Grenzen:

p(x):=-x^2;
D:[-20,20];
ab:diff(p(x),x);
k:ev(ab,x=a);
g:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,D[1],D[2]);
f:''g;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,D[1],D[2]]);

Ergebnis für p(x)=x² und D:[-5,5]:

parabel_tangenten

Lineare Regression

Learning App: http://LearningApps.org/view361083

Man kontrolliere die einzelnen Rechnungen mit dem Geogebrazeichenblatt: http://www.geogebratube.org/student/m96676

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-2113822514


Geogebrabook zum Thema: http://geogebratube.org/student/b119441#


Grenzkosten und Betriebsoptimum

Günther Giesinger, BG Feldkirch:

„Graphisch gesehen liegt das Betriebsoptimum dort, wo die Ursprungsgerade Tangente an die Gesamtkostenfunktion ist.“

Exemplarisch mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r589391985

Der Programmcode:

K:x^2+8*x+36;
D:K/x;
ab:diff(D,x);
l:solve(ab=0,x);
BO:x,l[2];
GK:diff(K,x);
k:GK,x=BO;
d:K-k*x,x=BO;

Ableitung mit Hilfe der Grenzwert-Definition

Geogebrasammlung zu diesem Thema

Programmcode:

„*“/* Ableitung einer Summe */;
f(x):=x^2-8*x+15;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
„*“/* Ableitung eines Produkts */;
f(x):=(x-3)*(x-5);
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
„*“/* Ableitung eines Quotienten */;
f(x):=(3*x+4)/(2*x+5);
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);

Ausführung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-437093272

Potenzregel

Man ermittelt die Ableitung einer Potenz, indem man die Hochzahl um eins vermindert und mit der alten Hochzahl mutlipliziert.

Differenzenquotient und Differentailquotient:

Image

Programmcode

f(x):=x^2;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^3;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^4;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^5;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^n;
d:(f/x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);

Berechnung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r869170349

Polynomfunktion

Ausgangslage: http://LearningApps.org/display?v=petc1076t

Analyse dieser LearningApp

  1. Mit Geogebra: siehe Konstruktionsprotokoll!
    protokoll
  2. Mit Maxima:a) Kubische Funktion: http://maxima-online.org/?inc=r-222205784
    x1:0;y1:0;
    x2:5;y2:3;
    x3:9;y3:2;
    x4:12;y4:4;
    g(x,y):=y=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
    g1:g(x1,y1);
    g2:g(x2,y2);
    g3:g(x3,y3);
    g4:g(x4,y4);
    l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]);
    Funktion:g(x,y),l;b) Quadratische Funktion: http://maxima-online.org/?inc=r-886888505
    x1:3;y1:0;
    x2:4;y2:-1;
    x3:5;y3:0;
    g(x,y):=y=a*x^2+b*x+c;
    g1:g(x1,y1);
    g2:g(x2,y2);
    g3:g(x3,y3);
    l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
    Funktion:g(x,y),l;

Kurvendiskussion ist out!

Einleitung

Die klassische Form der Kurvendiskussions-Aufgaben ist als überholt anzusehen. Der Hauptzweck bestand zu meiner Schulzeit vor nahezu 50 Jahren ja darin, brauchbare Grundlagen für die Erstellung einer grafischen Darstellung zu bekommen.

Heute kann man z.B. eine grafische Darstellung vorgeben. Daraus können sich interessante Fragestellungen ergeben.

parabel

Aufgabe

  1. Man bestimme die Funktion, die die vorgelegte Grafik erzeugt.
  2. Man bestimme die Nullstellen.
  3. Man ermittle etwaige relativen Extremwerte.

Lösungsvarianten

Mit Geogebra ist die Aufgabe in kürzester Zeit erledigt, Aber MEISTENS unter Zuhilfenahme von „Black Box Methoden“!

Link zu Geogebra-Tube: http://www.geogebratube.org/student/m60359

Die Berechnung mit Maxima funktioniert ähnlich wie die Berechnung mit Papier und Bleistift!

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1460096960