Tangenten und ihre Hüllkurve

Aufgabe:

Die Tangenten an y=x² im Bereich [-5,5] sind zu ermitteln und in einer Grafik darzustellen. Wenn man die Funktion auch einzeichnet, ergibt sich eine Hüllkurve für die Tangenten.

Die Lösung soll schrittweise entwickelt werden. Wo liegen die Schwächen der einzelnen Programmversionen? Es soll eine Anwendung auch auf andere Funktionen möglich werden.

Lösungsüberlegungen:

  1. Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1294288297
  2. Mit Hüllkurve: http://maxima-online.org/?inc=r2099680601
  3. Mit Ermittlung der Tangentengleichung: http://maxima-online.org/?inc=r872193857
  4. Verbesserte Plot-Anweisung: http://maxima-online.org/?inc=r384379534

Programmcode:

p(x):=x^2;
ab:diff(p(x),x);
k:ab,x=a;
f:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,-5,5);
f:2*a*(x-a)+a^2;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,-5,5]);

Die Ausführung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-857523419
Eine weitere Programmverbesserung: http://maxima-online.org/?inc=r-873546065 (es wäre noch interessant, wenn geeignete Bereichsgrenzen automatisch ermittelt werden könnten)

Programmcode mit Eingabe der Grenzen:

p(x):=-x^2;
D:[-20,20];
ab:diff(p(x),x);
k:ev(ab,x=a);
g:k*(x-a)+p(a);
a:makelist(i,i,D[1],D[2]);
f:''g;
f:append(f,[p(x)]);
plot2d(f, [x,D[1],D[2]]);

Ergebnis für p(x)=x² und D:[-5,5]:

parabel_tangenten

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Lineare Regression

Learning App: http://LearningApps.org/view361083

Man kontrolliere die einzelnen Rechnungen mit dem Geogebrazeichenblatt: http://www.geogebratube.org/student/m96676

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-2113822514


Geogebrabook zum Thema: http://geogebratube.org/student/b119441#


Integral-Übungen erzeugen

Programmcode:

Funktionen:[3*x,8*x^3,x^2+x,3*x^2+4*x+1,x^6-3*x^5+7*x^3,x^2/3+x/4,
x^4/10-3*x^2+2/3,1/x^2,1/x^3,sqrt(x)] /* Eingabe */;
n:length(Funktionen);
Integrale:integrate(Funktionen,x);
Aufgaben:makelist([f(x)=Funktionen[i],'integrate(f(x),x)=
Integrale[i]],i,1,n);
Beispiele: matrix(
["Aufgaben"],
[transpose(Aufgaben)]
);

Maxima-Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r973274539

Grenzkosten und Betriebsoptimum

Günther Giesinger, BG Feldkirch:

„Graphisch gesehen liegt das Betriebsoptimum dort, wo die Ursprungsgerade Tangente an die Gesamtkostenfunktion ist.“

Exemplarisch mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r589391985

Der Programmcode:

K:x^2+8*x+36;
D:K/x;
ab:diff(D,x);
l:solve(ab=0,x);
BO:x,l[2];
GK:diff(K,x);
k:GK,x=BO;
d:K-k*x,x=BO;

Ableitung mit Hilfe der Grenzwert-Definition

Geogebrasammlung zu diesem Thema

Programmcode:

„*“/* Ableitung einer Summe */;
f(x):=x^2-8*x+15;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
„*“/* Ableitung eines Produkts */;
f(x):=(x-3)*(x-5);
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
„*“/* Ableitung eines Quotienten */;
f(x):=(3*x+4)/(2*x+5);
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);

Ausführung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-437093272

Potenzregel

Man ermittelt die Ableitung einer Potenz, indem man die Hochzahl um eins vermindert und mit der alten Hochzahl mutlipliziert.

Differenzenquotient und Differentailquotient:

Image

Programmcode

f(x):=x^2;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^3;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^4;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^5;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
f(x):=x^n;
d:(f/x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);

Berechnung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r869170349

Polynomfunktion

Ausgangslage: http://LearningApps.org/display?v=petc1076t

Analyse dieser LearningApp

  1. Mit Geogebra: siehe Konstruktionsprotokoll!
    protokoll
  2. Mit Maxima:a) Kubische Funktion: http://maxima-online.org/?inc=r-222205784
    x1:0;y1:0;
    x2:5;y2:3;
    x3:9;y3:2;
    x4:12;y4:4;
    g(x,y):=y=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
    g1:g(x1,y1);
    g2:g(x2,y2);
    g3:g(x3,y3);
    g4:g(x4,y4);
    l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]);
    Funktion:g(x,y),l;b) Quadratische Funktion: http://maxima-online.org/?inc=r-886888505
    x1:3;y1:0;
    x2:4;y2:-1;
    x3:5;y3:0;
    g(x,y):=y=a*x^2+b*x+c;
    g1:g(x1,y1);
    g2:g(x2,y2);
    g3:g(x3,y3);
    l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
    Funktion:g(x,y),l;

Kurvendiskussion ist out!

Einleitung

Die klassische Form der Kurvendiskussions-Aufgaben ist als überholt anzusehen. Der Hauptzweck bestand zu meiner Schulzeit vor nahezu 50 Jahren ja darin, brauchbare Grundlagen für die Erstellung einer grafischen Darstellung zu bekommen.

Heute kann man z.B. eine grafische Darstellung vorgeben. Daraus können sich interessante Fragestellungen ergeben.

parabel

Aufgabe

  1. Man bestimme die Funktion, die die vorgelegte Grafik erzeugt.
  2. Man bestimme die Nullstellen.
  3. Man ermittle etwaige relativen Extremwerte.

Lösungsvarianten

Mit Geogebra ist die Aufgabe in kürzester Zeit erledigt, Aber MEISTENS unter Zuhilfenahme von „Black Box Methoden“!

Link zu Geogebra-Tube: http://www.geogebratube.org/student/m60359

Die Berechnung mit Maxima funktioniert ähnlich wie die Berechnung mit Papier und Bleistift!

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1460096960

Kurvendiskussion

Aufgabe aus Geogebra-Tube: http://www.geogebratube.org/student/m59471

Gegeben sind also 4 Punkte:

A:[x=2,y=2];
B:[x=4.84,y=-0.4];
C:[x=7.68,y=2.3];
D:[x=11,y=0];

Lösung der Teilaufgabe (a): http://maxima-online.org/?inc=r1540912938

ratprint:false;
A:[x=2,y=2];
B:[x=4.84,y=-0.4];
C:[x=7.68,y=2.3];
D:[x=11,y=0];
g:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
g1:g,A;
g2:g,B;
g3:g,C;
g4:g,D;
l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]),numer;
koeff:[a,b,c,d],l;
koeff:floor(koeff*100+0.5)/100.0;
f:[x^3,x^2,x,1].koeff;

Lösung der Teilaufgabe (b):

Lösung der Teilaufgabe (c):

Lösung der Teilaufgabe (d):