Telefonkostenfunktion

Aufgabe:

Aus einer älteren Unterlage:telefonkostenErklärung: Das else 0 am Schluss bedeutet, dass keine Kosten ausgewiesen werden, falls sinnloserweise ein negativer Verbrauch eingegeben wird. In dieser Aufgabe geht es um Fallunterscheidungen.

Programm Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r1240591096

 

 

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Noch ein Marktgleichgewicht

Aufgabe:

marktgleichgewicht2

Funktionen zeichnenhttp://maxima-online.org/?inc=r285466161

Interpretation einer Grafik:

nachfrage_angebot

Blau ist die Nachfragefunktion. Rot ist die Angebotsfunktion.
Welche Informationen kann man aus der Grafik ablesen?

 

 

Marktgleichgewicht mit Iterationsverfahren

Aufgabe:

Aus einer älteren Unterlage:marktgl-iteration

Angebot- und Nachfragefunktion plotten:

n(x):=1/2*(36-x^2);
a(x):=2*(x+1);
plot2d([a(x),n(x)],[x,0,6];

Programm mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-346068945

Übung: Man erkläre die Punkte A, B, C und D in der folgenden Geogebrazeichnung.

marktgleichgewicht

Preisobergrenze und Sättigungsmenge

Aufgabe:

Eine Nachfragefunktion ist gegeben durch p(x) = 0,11 x² -15 x +4,39 im Intervall [0,xs].
xs ist die Sättigungsmenge, wir müssen sie erst bestimmen.

Man bestimme

  1. die Sättigungsmenge und
  2. die Preisobergrenze

und zwar mit dem Geogebrazeichenblatt und mit Maxima Online.

Die notwendigen Programme findest du hier: https://casmaxima.wordpress.com/hilfe/software/

 

 

Funktionen plotten

Aufgabe:

Man zeichne die Funktionen, die in der folgenden Aufgabe stecken, mit Maxima.

pukg

Programmcode:

p(x):=200-4*x;
plot2d([p(x)],[x,0,50]);

http://maxima-online.org/?inc=r702039463

K(x):=0.1*x^3-2*x^2+25*x+1450;
plot2d([K(x)],[x,0,50];

http://maxima-online.org/?inc=r1446970990

p(x):=200-4*x;
E(x):=p(x)*x;
plot2d([E(x)],[x,0,50]);

http://maxima-online.org/?inc=r1345745471

p(x):=200-4*x;
E(x):=p(x)*x;
K(x):=0.1*x^3-2*x^2+25*x+1450;
G(x):=E(x)-K(x);
plot2d([G(x)],[x,0,50]);

http://maxima-online.org/?inc=r114615560

Extremwerte

Aufgabe: Das Maximum in der folgenden Grafik muss rechnerisch nachgeprüft werden.

Kubische_Parabel

 

Rechnerische Kontrolle mit Maxima-Online:
http://maxima-online.org/?inc=r819714133

Übung: Man kontrolliere die Extremwerte durch Berechnung mit CAS Maxima http://maxima.online.org
Man kann sich auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt einen Überblick verschaffen: http://www.geogebratube.org/student/m96676

MAXI_MO
Programmcode dazu:

Punkt: matrix(
[-3,0],
[0,-1],
[3,2],
[6,0]
);
Punkt:args(Punkt);
f(x):=x[2]=a*x[1]^3+b*x[1]^2+c*x[1]+d;
g:map(f,Punkt);
l:solve(g,[a,b,c,d]);
KP:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,l;

ratprint:false;
e:solve(diff(rhs(KP),x)=0,x),numer;
x1:x,e[1];x2:x,e[2];
y1:rhs(KP),x=x1;y2:rhs(KP),x=x2;
x1:floor(x1*100+0.5)/100.0;x2:floor(x2*100+0.5)/100.0;
y1:floor(y1*100+0.5)/100.0;y2:floor(y2*100+0.5)/100.0;
Extremwerte:[[x1,y1],[x2,y2]];

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r2087016275

Gerade durch 2 Punkte

Aufgabe; Geradengleichung mit Geogebra

a) einfach zeichnen oder
b) polynom[{A,B}] image 

Lösung mit Maxima Online
http://maxima-online.org/?inc=r1437297732

 

Wir brauchen das für die Berechnung von linearen Funktionen in der Kosten und Preistheorie. Am ehesten für die Berechnung einer linearen Kostenfunktion. Und häufig zur Berechnung der Nachfragefunktion.

Nullstellen einer Polynomfunktion

Aufgabe: Die Nullstellen einer gegebenen Polynomfunktion 4. Grades sind zu bestimmen.

Programmcode:

p4(x):=x^4-x^3-10*x^2-x+1;
l1:realroots(p4(x));
l1:l1,numer;
l2:allroots(p4(x));
l3:solve(p4(x)=0,x);
l3:l3,numer;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1272412770

Anmerkung: warum eine der vier Lösungen mit realroots() von den anderen Ergebnissen abweicht ist mir nicht geläufig.

Man löse diese Aufgabe auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt! http://www.geogebratube.org/student/m132327
Wie das geht, sieht man im Youtube-Video: http://youtu.be/ZWbc0EWL3ko
Unbedingt selbst ausprobieren!

Anmerkung: Ohne Computereinsatz wäre diese Aufgabe wohl sehr schwierig und rechenaufwändig. Man sollte sich Gedanken darüber machen, dass das kaum geht. Auch das sogenannte Newtonsche Näherungsverfahren (dazu braucht man die erste Ableitung der Polynomfunktion) und wenigstens ein Tabellenkalkulationsprogramm. Mit  einem Taschenrechner kann das schon viel Tipparbeit sein.

Übung 1:
Zeige, dass die Funktion p3(x)=x^3+x-1 nur eine reelle und dafür zwei komplexe Lösungen hat!

Übung 2: (Kleingruppenarbeit)

Mit dem Geogebra-Zeichenblatt http://www.geogebratube.org/student/m132327 kann man mit polynom[{A,B,C,D,E}] Beispiele für Polynome 4. Grades erzeugen die

  • 4 Nullstellen,
  • 2 Nullstelle oder
  • gar keine Nullstelle

haben.

Polynome 5. Grades aus 6 Punkten und

  • 1 Nullstelle,
  • 3 Nullstellen und
  • 5 Nullstellen

sollten auch zu finden sein.

Damit kann man das Geogebra-Ergebnis nachrechnen:
http://maxima-online.org/?inc=r-1061486953

Es gibt geeignete Funktionen siehe http://maxima-online.org/?inc=r-1058806523, aber man soll seine Beispiele mit dem Geogebra-Zeichenblatt finden.

Im Geogebra Formelrechner http://www.geogebratube.org/student/m96860 muss man die imaginäre Einheit mit ALT+i eingeben! Abschluss einer Zeilen mit ENTER, SHIFT+ENTER und STRG+ENTER haben unterschiedliche Auswirkungen.

Wir konstruieren eine Polynomfunktion 4. Grades!

keine_Nullstellen

Sein oder nicht Sein

Aufgabe:
Tautologien sind immer wahr!

Man zeige: „Be or not to be“ ist eine Tautologie!
http://de.wikipedia.org/wiki/Sein_oder_Nichtsein,_das_ist_hier_die_Frage

Programmcode:
Version 1

n(u):=1-u;
o(x,y):=x+y-x*y;
bnb(x,y):=o(x,n(x));
bnb(1,1);
bnb(1,0);
bnb(0,1);
bnb(0,0);

Version 2

n(u):=1-u;
o(u,v):=u+v-u*v;
bnb(x):=o(x[1],n(x[1]));
W:{1,0};
WT:reverse(listify(cartesian_product(W,W)));
Result:map(bnb,WT);
[transpose(WT),transpose(Result)];

Version 3

n(u):=not u;
o(u,v):=u or v;
bnb(x):=o(x[1],n(x[1]));
W:{true,false};
WT:reverse(listify(cartesian_product(W,W)));
Result:map(bnb,WT);
[transpose(WT),transpose(Result)];

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-202349713

Verbesserter Algorithmus: http://maxima-online.org/?inc=r-1341626167

Mit Boolescher Algebra: http://maxima-online.org/?inc=r-197911884

Implikation und Äquivalenz

Hintergrund:

Die Aussagenlogik ist ein Teilgebiet der Logik, das sich mit Aussagen und deren Verknüpfung befasst, ausgehend von Elementaraussagen, denen ein Wahrheitswert (wahr oder falsch)  zugeordnet wird. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen.

Man berechne die Implikation mit Listenverarbeitung
(Abbildung aus einem Skriptum des Jahres 2003)

Implikation

Programmcode:

imp(a,b):= not a or b;
A:{true,false};
W:listify(cartesian_product(A,A));
f(x):=imp(x[1],x[2]);
ERG:map(f,W);
WT:[transpose(W),transpose(ERG)];

Erläuterungen dazu:

1. imp(a,b) ist eine benutzerdefinierte Funktion in zwei Variablen
2. eine Aussage kann wahr oder falsch sein
3. cartestian_product(A,B) ist die Produktmenge AxA, listify macht
   aus der Menge eine Liste
4. Funktion mit einem geordneten Paar als Argument
5. map erzeugt das elementweise Ergebnis der Implikation
6. mit transpose entsteht eine spaltenweise Darstellung

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r2019918161

Aufgabe: Man ändere bzw. ergänze die Implikation auf Äquivalenz eqv(a,b):=imp(a,b) and imp(b,a);

Programmcode:

imp(a,b):= not a or b;
eqv(a,b):=imp(a,b) and imp(b,a);
A:{true,false};
W:listify(cartesian_product(A,A));
f(x):=imp(x[1],x[2]);
g(x):=eqv(x[1],x[2]);
ERG1:map(f,W);
ERG2:map(g,W);
WT:[transpose(W),transpose(ERG1)];
WT:[transpose(W),transpose(ERG2)];

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r234229047