Grenzkosten und Betriebsoptimum

Günther Giesinger, BG Feldkirch:

„Graphisch gesehen liegt das Betriebsoptimum dort, wo die Ursprungsgerade Tangente an die Gesamtkostenfunktion ist.“

Exemplarisch mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r589391985

Der Programmcode:

K:x^2+8*x+36;
D:K/x;
ab:diff(D,x);
l:solve(ab=0,x);
BO:x,l[2];
GK:diff(K,x);
k:GK,x=BO;
d:K-k*x,x=BO;

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Ableitung mit Hilfe der Grenzwert-Definition

Geogebrasammlung zu diesem Thema

Programmcode:

„*“/* Ableitung einer Summe */;
f(x):=x^2-8*x+15;
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
„*“/* Ableitung eines Produkts */;
f(x):=(x-3)*(x-5);
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);
„*“/* Ableitung eines Quotienten */;
f(x):=(3*x+4)/(2*x+5);
d:(f(x+h)-f(x))/h;
limit(d,h,0);

Ausführung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-437093272

Kubische Parabel aus 4 Punkten bestimmen

Aufgabe: Die Koordinaten der Punkte sind leicht ablesbar! Man ermittle die zugehörige Polynomfunktion vierten Grades.

kubische_parabel

Hintergrundwissen:

  • durch zwei Punkte wird eine Gerade y = a x + b eindeutig bestimmt,
  • durch drei Punkte wird eine Parabel y = a x² + b x + c eindeutig bestimmt,
  • durch vier Punkte wird eine kubische Parabel y = a x³ + b x² + c x + d eindeutig bestimmt
  • usw.

Lösungsalgorithmus:

g:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
g1:g,x=-2,y=4;
g2:g,x=2,y=-2;
g3:g,x=4,y=2;
g4:g,x=7,y=1;
l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]);
Kubische_Parabel:g,l;

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r2104983397

Sicherungskopie im wxm-Format (kann durch Copy&Paste wiederverwendet werden)

Gewinnschwellen und Cournotscher Punkt

Ausgangslage: http://www.geogebratube.org/student/m64058
Interpretation: Grafische Darstellung einer quadratischen Erlösfunktion und einer quadratischen Kostenfunktion.

Was gibt es zu berechnen?

  • Die Erlösfunktion.
  • Die Kostenfunktion.
  • Die Gewinnfunktion.
  • Die Nachfragefunktion.

Erlösfunktion durch C,D und B und Nachfragefunktion mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-44669822

Kostenfunktion durch M,F und G mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r310156845

Grundlage für weitere Aufgaben sind die errechneten Erlös- und Kostenfunktionen:

  • E = -8/25 x² + 16/5 x
  • K = 8/105 x² + 4/105 x + 1

Gewinnzone mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1584557476
Cournotscher Punkt mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-970692400

Kurvendiskussion ist out!

Einleitung

Die klassische Form der Kurvendiskussions-Aufgaben ist als überholt anzusehen. Der Hauptzweck bestand zu meiner Schulzeit vor nahezu 50 Jahren ja darin, brauchbare Grundlagen für die Erstellung einer grafischen Darstellung zu bekommen.

Heute kann man z.B. eine grafische Darstellung vorgeben. Daraus können sich interessante Fragestellungen ergeben.

parabel

Aufgabe

  1. Man bestimme die Funktion, die die vorgelegte Grafik erzeugt.
  2. Man bestimme die Nullstellen.
  3. Man ermittle etwaige relativen Extremwerte.

Lösungsvarianten

Mit Geogebra ist die Aufgabe in kürzester Zeit erledigt, Aber MEISTENS unter Zuhilfenahme von „Black Box Methoden“!

Link zu Geogebra-Tube: http://www.geogebratube.org/student/m60359

Die Berechnung mit Maxima funktioniert ähnlich wie die Berechnung mit Papier und Bleistift!

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1460096960

Kurvendiskussion

Aufgabe aus Geogebra-Tube: http://www.geogebratube.org/student/m59471

Gegeben sind also 4 Punkte:

A:[x=2,y=2];
B:[x=4.84,y=-0.4];
C:[x=7.68,y=2.3];
D:[x=11,y=0];

Lösung der Teilaufgabe (a): http://maxima-online.org/?inc=r1540912938

ratprint:false;
A:[x=2,y=2];
B:[x=4.84,y=-0.4];
C:[x=7.68,y=2.3];
D:[x=11,y=0];
g:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
g1:g,A;
g2:g,B;
g3:g,C;
g4:g,D;
l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]),numer;
koeff:[a,b,c,d],l;
koeff:floor(koeff*100+0.5)/100.0;
f:[x^3,x^2,x,1].koeff;

Lösung der Teilaufgabe (b):

Lösung der Teilaufgabe (c):

Lösung der Teilaufgabe (d):

Quadratische Funktion

Aufgabe:

aufgabe1

Anleitung zur Lösung:

  1. Man muss die Koordinaten der drei Punkte A, B, C in y=ax²+bx+c einsetzen. Dadurch erhält man drei Gleichungen mit den drei Unbekannten a,b und c. Wenn man das Gleichungssystem löst, erhält man a=1, b=-8 und c=15.
  2. A und B sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Da y=0 ist, nennt man sie Nullstellen. Manchmal gibt man unter dem Begriff Nullstellen nur die x-Werte an, da dort y=0 ist.
  3. Man muss die Gleichung x² -8x+15=0 lösen, nach der Mitternachtsformel („Große Lösungsformel für quadratische Gleichungen“).
  4. C ist ein Extremwert, und zwar ein Minimum.
  5. In einem Minimum gibt es eine horizontale Tangente, daher muss die erste Ableitung NULL sein. Die erste Ableitung ist nämlich die Steigung der Tangente. Wir müssen also die Gleichung 2x-8=0 lösen. Den zugehörigen y-Wert erhält man, indem man in die Funktions-Gleichung einsetzt.

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r221832178
„Klassische Lösung“: http://maxima-online.org/?inc=r-1817214728

Das ist eine Lösung mit viel Listenverarbeitung!
(%i1) Punkt:[[3,0],[4,-1],[5,0]];
(%o1)                     [[3, 0], [4, - 1], [5, 0]]
(%i2) g(x):=x[2]=a*x[1]^2+b*x[1]+c;
                                         2
(%o2)                    g(x) := x  = a x  + b x  + c
                                  2      1      1
(%i3) Gleichungen:map(g,Punkt);
(%o3)    [0 = c + 3 b + 9 a, - 1 = c + 4 b + 16 a, 0 = c + 5 b + 25 a]
(%i4) Unbekannte:[a,b,c];
(%o4)                              [a, b, c]
(%i5) Loesung:solve(Gleichungen,Unbekannte);
(%o5)                     [[a = 1, b = - 8, c = 15]]
(%i6) f(x):=a*x^2+b*x+c;
                                       2
(%o6)                       f(x) := a x  + b x + c
(%i7) ab:diff(f(x),x);
(%o7)                              2 a x + b
(%i8) Parabel:f(x),Loesung;
                                  2
(%o8)                            x  - 8 x + 15
(%i9) Ableitung:ab,Loesung;
(%o9)                               2 x - 8
(%i10) Nullstelle:realroots(Parabel);
(%o10)                          [x = 3, x = 5]
(%i11) y_Werte_NS:Parabel,Nullstelle;
(%o11)                                 0
(%i12) Extremwert:realroots(Ableitung);
(%o12)                              [x = 4]
(%i13) y_Werte_NS:Parabel,Extremwert;
(%o13)                                - 1
(%i14)

Gleichung einer kubischen Parabel aus vier Punkten erstellen

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r727984259

(%i1) "*"/* Gleichung einer kubischen Parabel aus vier Punkten */;
(%o1)                                  *
(%i2) "*"/* Eingabe der Punktkoordinaten */;
(%o2)                                  *
(%i3) x1:1;
(%o3)                                  1
(%i4)  y1:0;
(%o4)                                  0
(%i5) x2:5;
(%o5)                                  5
(%i6)  y2:-1;
(%o6)                                 - 1
(%i7) x3:7;
(%o7)                                  7
(%i8)  y3:0;
(%o8)                                  0
(%i9) x4:-5;
(%o9)                                 - 5
(%i10)  y4:0;
(%o10)                                 0
(%i11) "*"/* Allgemeiner Ansatz */;
(%o11)                                 *
(%i12) g(x,y):=y=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
                                       3      2
(%o12)               g(x, y) := y = a x  + b x  + c x + d
(%i13) "*"/* Gleichungen durch Einsetzen der Punkte */;
(%o13)                                 *
(%i14) g1:g(x1,y1);
(%o14)                         0 = d + c + b + a
(%i15) g2:g(x2,y2);
(%o15)                   - 1 = d + 5 c + 25 b + 125 a
(%i16) g3:g(x3,y3);
(%o16)                    0 = d + 7 c + 49 b + 343 a
(%i17) g4:g(x4,y4);
(%o17)                    0 = d - 5 c + 25 b - 125 a
(%i18) "*"/* Lösung des Gleichungssystems */;
l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]);
                          1         3         33      7
(%o18)              [[a = --, b = - --, c = - --, d = --]]
                          80        80        80      16
(%i19) "*"/* Ergebnis feststellen */;
(%o19)                                 *
(%i20) Kubische_Parabel:ev(g(x,y),l);
                                3      2
                               x    3 x    33 x   7
(%o20)                     y = -- - ---- - ---- + --
                               80    80     80    16
(%i21)

Die Gleichung einer Parabel aus drei Punkten erstellen

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1784631185

(%i1) "*"/* Gleichung einer Parabel aus drei Punkten */;
(%o1)                                  *
(%i2) "*"/* Eingabe der Punktkoordinaten */;
(%o2)                                  *
(%i3) x1:1;
(%o3)                                  1
(%i4)  y1:2;
(%o4)                                  2
(%i5) x2:5;
(%o5)                                  5
(%i6)  y2:-1;
(%o6)                                 - 1
(%i7) x3:7;
(%o7)                                  7
(%i8)  y3:4;
(%o8)                                  4
(%i9) "*"/* Allgemeiner Ansatz */;
(%o9)                                  *
(%i10) g(x,y):=y=a*x^2+b*x+c;
                                           2
(%o10)                   g(x, y) := y = a x  + b x + c
(%i11) "*"/* Gleichungen durch Einsetzen der Punkte */;
(%o11)                                 *
(%i12) g1:g(x1,y1);
(%o12)                           2 = c + b + a
(%i13) g2:g(x2,y2);
(%o13)                       - 1 = c + 5 b + 25 a
(%i14) g3:g(x3,y3);
(%o14)                        4 = c + 7 b + 49 a
(%i15) "*"/* Lösung des Gleichungssystems */;
l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
                               13               131
(%o15)                   [[a = --, b = - 4, c = ---]]
                               24               24
(%i16) "*"/* Ergebnis feststellen */;
(%o16)                                 *
(%i17) Parabel:ev(g(x,y),l);
                                     2
                                 13 x          131
(%o17)                       y = ----- - 4 x + ---
                                  24           24
(%i18)