Kombinatorik mit GeoGebraCAS

Ein leeres CAS-Sheet auf Geogebra-Tube ist sehr praktisch! Man beachte den Link. http://www.geogebratube.org/student/m96860

image

Aufgabe: Lösung der angezeigten Aufgabe mit Maxima.

Programmcode:

c(n,k):=n!/(k!*(n-k)!);
c(45,6);
c(49,6);
n: [10,11,12];
c(n[1],3);
c(n[2],3);
10!/(3!*7!);

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1244456819

Wenn man es herunterlädt, kann man es mit wxMaxima ausführen (Linux, Windows, MAC).

wxmaxima

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Binomialverteilung und Approximation durch Normalverteilung

Aufgabe:

Eine faire Münze wird 80 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) höchstens 45 mal
b) zwischen 36 und 42 mal „Kopf“ zu werfen?

Programmcode:

""/* BINOMIALVERTEILUNG */;
n:80;p:1/2;
W(k):=binomial(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k);
WA:sum(W(k),k,0,45),numer;WA:floor(WA*10000+0.5)/10000.0;
WB:sum(W(k),k,36,42),numer;WB:floor(WB*10000+0.5)/10000.0;
""/* NORMALVERTEILUNG */;
m:n*p;s:sqrt(n*p*(1-p));
load(distrib)$
WA:cdf_normal(45,m,s),numer;WA:floor(WA*10000+0.5)/10000.0;
WB:cdf_normal(42,m,s)-cdf_normal(36,m,s),numer;
WB:floor(WB*10000+0.5)/10000.0;

Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r-1791114831
auch Binomialverteilung mit Unterprogramm:
http://maxima-online.org/?inc=r680017970

Übungen (mit Binomialverteilung):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) mindestens 30 mal Kopf,
b) 30 bis 50 mal Kopf,
c) höchstens 50 mal Kopf zu werfen?
2. Wie (1) aber mit insgesamt 90 Würfen.

Für die folgenden Aufgaben verwenden wir das GeogebraBook. Zwischenresultate können auch auf Papier notiert werden.

3. Man zeichne die Binomialverteilung für n=80 und p=1/2 mit 
   Blatt(1,1).
4. Man berechne W(x<45) für n=80 und p=1/2 mit Blatt(1,1).
5. Man berechne W(35<x<50) für n=80 und p=1/2 mit Blatt(1,1).

 


GeogebraBook zum Thema: http://geogebratube.org/student/b119421#


Lineare Regression

Learning App: http://LearningApps.org/view361083

Man kontrolliere die einzelnen Rechnungen mit dem Geogebrazeichenblatt: http://www.geogebratube.org/student/m96676

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-2113822514


Geogebrabook zum Thema: http://geogebratube.org/student/b119441#


Polynomfunktion berechnen und zeichnen

1. Aufgabe: Man berechne die Polynomfunktionen zu den folgenden Punktelisten mit Hilfe von http://maxima-online.org/?inc=r-1848088314 und zeichne diese mit Geogebra oder mit dem Zeichenblatt.

  1. [[0,0],[3,1],[7,4]]
  2. [[-3,0],[0,-5],[4,0],[8,1]]
  3. [[-5,2],[-2,-2],[1,1],[5,3],[8,-2]]

Wie man das Beispiel 1 machen kann, zeigen wir auf Youtube. Der Film wurde unter Windows aufgezeichnet.

2. Aufgabe: Man stelle in einer Kleingruppenarbeit 10 relevante Fragen, die sich aus der ersten Aufgabe ergeben und dokumentiere deren Beantwortung.


Hintergrundinformation zum verwendeten Maxima-Programm: https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/

Geogebrabook zu diesem Thema: http://geogebratube.org/student/b119462#


 

Aufgaben zu sechs allgemeinen Dreiecken

Die sechs gegebenen Dreiecke findet man hier: http://www.lungau-academy.at/box/Dreieck_01

Ganz wichtig: es sollen auf Basis der Zeichnungen Aufgaben formuliert werden (Lehren lernen!).

Aufgaben (beispielsweise):

  1. Zeichne die Dreiecke mit Geogebra
  2. Bezeichne die Eckpunkte in üblicher Weise.
  3. Bestimme die Seitenlängen.
  4. Bestimme die Flächen.
  5. Bestimme die Höhen
  6. Bestimme die Winkel.
  7. Bei den Aufgaben sollen auch CAS Maxima und GeoGebraCas angewendet werden (Kontrollrechnungen).

Hier ist ein leeres Zeichenblatthttp://www.geogebratube.org/student/m96676
(Ausgabe entweder als Screenshot oder PDF-Druck des Browsers).

Flächen und Listenverarbeitung

Flächen und Listenverarbeitung

Das Fünfeck, welches hier in sechs rechtwinkelige Dreiecke zerlegt wurde, hat eine Fläche von 52 cm² (was man durch Kopfrechnen herausfinden kann). Welch komplexer Vorgang diese Kopfrechnung ist, kann man durch Formalisierung mit Listenverarbeitung herausfinden.

Dabei kann man viel Verständnis für ein Koordinatensystem erreichen.

Notwendige Listen sind:

  1. die Liste der Punkte
  2. die Liste der rechtwinkeligen Dreiecke
  3. die Liste der Kathetenpaare

1. Aufgabe:

Man bestimme die notwendigen Listen durch Ablesen aus der Zeichnung.

Programmcode (Formalisierung):

  1. Liste der Punkte
    A:[1,5];B:[5,1];C:[10,1];D:[13,5];E:[7,8];F:[7,5];G:[5,5];H:[10,5];
    Punkt:[A,B,C,D,E,F,G,H];
  2. Liste der rechtwinkeligen Dreiecke
    D1:[A,B,G];D2:[C,G,B];D3:[G,C,H];D4:[C,D,H];D5:[E,A,F];D6:[D,E,F];
    Dreieck:[D1,D2,D3,D4,D5,D6];
  3. Liste der Kathetenpaare
    Nicht ablesen, sondern berechnen!

2. Aufgabe:

Zeichne die Dreiecksliste mit Geogebra:

[[[1, 5], [5, 1], [5, 5]], [[10, 1], [5, 5], [5, 1]], 
[[5, 5], [10, 1], [10, 5]], [[10, 1], [13, 5], [10, 5]], 
[[7, 8], [1, 5], [7, 5]], [[13, 5], [7, 8], [7, 5]]]

So geht es laut Youtubehttp://youtu.be/721h4vkwfNU

3. Aufgabe:

Flächenberechnungen:

Man könnte leicht aus der Dreiecksliste die einzelnen Flächen nach der Heronschen Formel ermitteln. Aber das eignet sich ja nicht zum Kopfrechnen, und genau das wollten wir ja analysieren. Also stellt sich die Frage: Ablesen der Kathetenlängen? Das wäre wohl „unsportlich“.

Wir berechnen zunächst die drei Seiten der Dreiecke in der Dreiecksliste. Wir arbeiten das an einem Dreieck aus und verwenden danach Listenarithmetik.

Das ausgewählte Dreieck sei D1.

D1:[[1, 5], [5, 1], [5, 5]];

Programmcode für die Berechnung der Strecken mit Listenverarbeitung:

D1:[[1, 5], [5, 1], [5, 5]];
S1:setify(D1);
P1:powerset(S1,2);
P1:listify(P1);
S1:map(listify,P1);

Maxima liefert:

Seiten:[[[1, 5], [5, 1]], [[1, 5], [5, 5]], [[5, 1], [5, 5]]]

Daraus können wir nunmehr die Seitenlängen berechnen!

Eine Seitenlänge:

Herkömmlich: http://maxima-online.org/?inc=r-968527119

Mit komplexen Zahlen: http://maxima-online.org/?inc=r1711871624

Alle drei Seitenlängen und die Fläche für ein Dreieck:http://maxima-online.org/?inc=r1264415508

Für die Abrechnung der gesamten Dreiecksliste verwenden wir die gute alte FOR-Schleife:
http://maxima-online.org/?inc=r41436217

Programmcode:

D:[[[1, 5], [5, 1], [5, 5]], [[10, 1], [5, 5], [5, 1]], 
[[5, 5], [10, 1], [10, 5]], [[10, 1], [13, 5], [10, 5]], 
[[7, 8], [1, 5], [7, 5]], [[13, 5], [7, 8], [7, 5]]];
n:length(D);
s(X):=sqrt(X[1]^2+X[2]^2);
Gesamt:0;
for i:1 thru n do block(D1:D[i],
S1:setify(D1),
P1:powerset(S1,2),
P1:listify(P1),
S1:map(listify,P1),
AS:makelist(S1[i][2]-S1[i][1],i,1,3),
Seiten:map(s,AS),
Seite:sort(Seiten),
Kathetenpaar:[Seite[1],Seite[2]],
Flaeche:Seite[1]*Seite[2]/2,
Gesamt:Gesamt+Flaeche,
display(Kathetenpaar,Flaeche));
display(Gesamt);

Fünfeck

1. Aufgabe:

Fünfeck

Die Fläche dieses Fünfecks soll am besten durch Kopfrechnen bestimmt werden.

1.1 Interessante Lösungen von Facebook-Freunden:

Peter Hachmann

peter

Man zeichne: wie funktioniert die Lösung von Peter Hachmann?

Heimo Rottensteiner

heimo

Man zeichne: wie funktioniert die Lösung von Heimo Rottensteiner?

1.2 Mein Lösungsvorschlag:

1.2.1 Zunächst zeichnen wir das Dreieck mit Geogebra (es ginge natürlich auch mit kariertem Papier):
http://www.geogebratube.org/student/m92570

1.2.2 Eine Erklärung wie es gehen könnte auf Youtubehttp://youtu.be/cc-bwxDrPRM

1.3 Übungsaufgabe zur ersten Aufgabe:

Die Koordinaten des Punktes B sollen auf (4,1) verändert werden. Die Fläche wird dann wohl größer, aber um wie viele Quadratzentimeter?

1.4 Übungsaufgabe zur ersten Aufgabe:

Die Koordinaten des Punktes D werden auf (11,5) verschoben. Wie viele Quadratzentimeter hat die Fläche dann?

2. Aufgabe

Fortsetzung folgt später 🙂

 

Trigonometrische Gleichung

Ausgangssituation auf GeoGebraTube: http://www.geogebratube.org/student/m91990

1.Aufgabe

Man kontrolliere die Lösung in der unveränderten Grundsituation mit Maxima. So geht es:

f(x):=sin(x);
g(x):=x-1.1;
plot2d([f(x),g(x)],[x,-5,5]);
Gleichung:f(x)=g(x);
x:find_root(Gleichung,x,-5,5);
y:g(x);
x:floor(x*100+0.5)/100.0;
y:floor(y*100+0.5)/100.0;
Loesung:[x,y];

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1394153949