Das Marktgleichtgewicht

Aufgabe:

Marktgleichgewicht

Das Marktgleichgewicht ist der Schnittpunkt von Angebotsfunktion und Nachfragefunktion.

Beispiel:

n(x):=-0.2*x + 10;
a(x):= 2*x+2;
g:a(x)=n(x);
l:realroots(g),numer;
x1:ev(x,l);
n(x1);
a(x1);
plot2d([a(x),n(x)],[x,0,50]);

Probelauf mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-725194680

 

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Fehlende Koordinaten suchen

Aufgabe:

max_fr

Programmcode für die erste Teilaufgabe:

"*"/* Fehlende Koordinaten suchen */;
"*"/* A(0,?), B(5,2000), C(?,2500), D(15,4500) */;
"*"/* Funktion eingeben */;
f(x):=2*x^3-30*x^2+200*x+1500;
"*"/* Bei Punkt A kennt man den x-Wert */;
f(0);
"*"/* Bei Punkt B kennt man den x-Wert */;
f(5);
"*"/* Bei Punkt C kennt man den y-Wert, das gibt eine Gleichung 
3. Grades, die geloest werden muss */;
g:f(x)=2500;
realroots(g);
"*"/* Bei Punkt D kennt man den x-Wert */;
f(15)

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r1273018403

Diese Aufgabenstellung lässt sich sehr schön mit Geogebra lösen! Dazu kann mann das Zeichenblatt verwenden.

PDF: Programmschema dieser Aufgabe

Preisobergrenze und Sättigungsmenge

Aufgabe:

Eine Nachfragefunktion ist gegeben durch p(x) = 0,11 x² -15 x +4,39 im Intervall [0,xs].
xs ist die Sättigungsmenge, wir müssen sie erst bestimmen.

Man bestimme

  1. die Sättigungsmenge und
  2. die Preisobergrenze

und zwar mit dem Geogebrazeichenblatt und mit Maxima Online.

Die notwendigen Programme findest du hier: https://casmaxima.wordpress.com/hilfe/software/

 

 

Nullstellen einer Polynomfunktion

Aufgabe: Die Nullstellen einer gegebenen Polynomfunktion 4. Grades sind zu bestimmen.

Programmcode:

p4(x):=x^4-x^3-10*x^2-x+1;
l1:realroots(p4(x));
l1:l1,numer;
l2:allroots(p4(x));
l3:solve(p4(x)=0,x);
l3:l3,numer;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1272412770

Anmerkung: warum eine der vier Lösungen mit realroots() von den anderen Ergebnissen abweicht ist mir nicht geläufig.

Man löse diese Aufgabe auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt! http://www.geogebratube.org/student/m132327
Wie das geht, sieht man im Youtube-Video: http://youtu.be/ZWbc0EWL3ko
Unbedingt selbst ausprobieren!

Anmerkung: Ohne Computereinsatz wäre diese Aufgabe wohl sehr schwierig und rechenaufwändig. Man sollte sich Gedanken darüber machen, dass das kaum geht. Auch das sogenannte Newtonsche Näherungsverfahren (dazu braucht man die erste Ableitung der Polynomfunktion) und wenigstens ein Tabellenkalkulationsprogramm. Mit  einem Taschenrechner kann das schon viel Tipparbeit sein.

Übung 1:
Zeige, dass die Funktion p3(x)=x^3+x-1 nur eine reelle und dafür zwei komplexe Lösungen hat!

Übung 2: (Kleingruppenarbeit)

Mit dem Geogebra-Zeichenblatt http://www.geogebratube.org/student/m132327 kann man mit polynom[{A,B,C,D,E}] Beispiele für Polynome 4. Grades erzeugen die

  • 4 Nullstellen,
  • 2 Nullstelle oder
  • gar keine Nullstelle

haben.

Polynome 5. Grades aus 6 Punkten und

  • 1 Nullstelle,
  • 3 Nullstellen und
  • 5 Nullstellen

sollten auch zu finden sein.

Damit kann man das Geogebra-Ergebnis nachrechnen:
http://maxima-online.org/?inc=r-1061486953

Es gibt geeignete Funktionen siehe http://maxima-online.org/?inc=r-1058806523, aber man soll seine Beispiele mit dem Geogebra-Zeichenblatt finden.

Im Geogebra Formelrechner http://www.geogebratube.org/student/m96860 muss man die imaginäre Einheit mit ALT+i eingeben! Abschluss einer Zeilen mit ENTER, SHIFT+ENTER und STRG+ENTER haben unterschiedliche Auswirkungen.

Wir konstruieren eine Polynomfunktion 4. Grades!

keine_Nullstellen

Fischverkauf

Aufgabe: Der Fischverkäufer

Ein Junge züchtet Goldfische als Hobby. Eines Tages beschließt er, alle Fische zu verkaufen. Er tut es in fünf Schritten:
1. Er verkauft die Hälfte seiner Fische und einen halben Fisch.
2. Er verkauft ein Drittel des Restes und einen drittel Fisch.
3. Er verkauft von dem, was ihm bleibt, ein Viertel und einen viertel Fisch.
4. Er verkauft ein Fünftel des Restes und einen fünftel Fisch.

Nun hat er noch 11 Goldfische übrig. Natürlich wird kein Fisch zerteilt oder irgendwie verletzt. Wie viele Fische hatte er am Anfang?

Aus J. Weilharter, Spaß mit Algorithmen, Seite 28ff

Programmcode:

g1:x1=x-(x/2+1/2);
g2:x2=x1-(x1/3+1/3);
g3:x3=x2-(x2/4+1/4);
g4:x4=x3-(x3/5+1/5);
g5:x4=11;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5],[x,x1,x2,x3,x4]);

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1387132335

 

Kombinatorik mit GeoGebraCAS

Ein leeres CAS-Sheet auf Geogebra-Tube ist sehr praktisch! Man beachte den Link. http://www.geogebratube.org/student/m96860

image

Aufgabe: Lösung der angezeigten Aufgabe mit Maxima.

Programmcode:

c(n,k):=n!/(k!*(n-k)!);
c(45,6);
c(49,6);
n: [10,11,12];
c(n[1],3);
c(n[2],3);
10!/(3!*7!);

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1244456819

Wenn man es herunterlädt, kann man es mit wxMaxima ausführen (Linux, Windows, MAC).

wxmaxima

Der Google Taschenrechner

Der Google Taschenrechner (einfach die Google-Suchmaschine) kann

  1. problemlos verwendet werden, zur Aktivierung muss man eine einfache Rechnung suchen, z.B. 1+1=  und
  2. auch als Ausgangspunkt für Problemstellungen dienen!

http://youtu.be/pik_oxIwuAE

Anmerkung: in diesem Youtube-Video wird auch berechnet, wie viele Möglichkeiten es beim österreichischen Lotto 6 aus 45 geht (Kombinatorik).

Aufgaben:

Man bearbeite den Inhalt des obigen Filmes mit
a) Maxima und
b) Geogebra.

Ob mit Geogebra in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw, Kombinatorik auch etwas geht?
Antwort: JA!

Fakultäten:

image

Lottoaufgabe:

image

Der Kauf eines Taschenrechners ist überflüssig.

Aufgaben:

Man berechne mit dem Google Taschenrechner:

rwdr-tabelle

Man mache auch Kontrollrechnungen mit Maxima-Online!

Lineare Gleichungen

Grundaufgabe:

image

Man erfinde 10 lineare Gleichungen und ermittle ihre Lösungen mit Maxima Online,

  • zuerst einzeln und dann
  • mit Listenverarbeitung.

Programmcode mit Listenverarbeitung:

g:[
(x-3)+(x-5)-(x+4)=3,
3*(x+4)-2*(x+8)=5*(x-3),
-4*(x-8)+a*(x-3)=b
];
makelist(solve(g[i],x),i,1,length(g));

Probelauf mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-994707242

Lineare Regression

Learning App: http://LearningApps.org/view361083

Man kontrolliere die einzelnen Rechnungen mit dem Geogebrazeichenblatt: http://www.geogebratube.org/student/m96676

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-2113822514


Geogebrabook zum Thema: http://geogebratube.org/student/b119441#