Ein Produktionsproblem

Aufgabe:

Zwei Produkte A und B sollen in 3 Abteilungen F1, F2 und F3 hergestellt werden. Der Gewinn soll maximal werden!

produktionsproblem

Programmcode:

load(simplex);
u1:x>=0;
u2:y>=0;
u3:10*x+2*y<=200;
u4:8*x+20*y<=400;
u5:3*y<=180;
ZF:100*x+200*y;
NB:[u1,u2,u3,u4,u5];
maximize_lp(ZF,NB);

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-158896368

 

Extremwerte

Aufgabe: Das Maximum in der folgenden Grafik muss rechnerisch nachgeprüft werden.

Kubische_Parabel

 

Rechnerische Kontrolle mit Maxima-Online:
http://maxima-online.org/?inc=r819714133

Übung: Man kontrolliere die Extremwerte durch Berechnung mit CAS Maxima http://maxima.online.org
Man kann sich auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt einen Überblick verschaffen: http://www.geogebratube.org/student/m96676

MAXI_MO
Programmcode dazu:

Punkt: matrix(
[-3,0],
[0,-1],
[3,2],
[6,0]
);
Punkt:args(Punkt);
f(x):=x[2]=a*x[1]^3+b*x[1]^2+c*x[1]+d;
g:map(f,Punkt);
l:solve(g,[a,b,c,d]);
KP:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,l;

ratprint:false;
e:solve(diff(rhs(KP),x)=0,x),numer;
x1:x,e[1];x2:x,e[2];
y1:rhs(KP),x=x1;y2:rhs(KP),x=x2;
x1:floor(x1*100+0.5)/100.0;x2:floor(x2*100+0.5)/100.0;
y1:floor(y1*100+0.5)/100.0;y2:floor(y2*100+0.5)/100.0;
Extremwerte:[[x1,y1],[x2,y2]];

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r2087016275

Fischverkauf

Aufgabe: Der Fischverkäufer

Ein Junge züchtet Goldfische als Hobby. Eines Tages beschließt er, alle Fische zu verkaufen. Er tut es in fünf Schritten:
1. Er verkauft die Hälfte seiner Fische und einen halben Fisch.
2. Er verkauft ein Drittel des Restes und einen drittel Fisch.
3. Er verkauft von dem, was ihm bleibt, ein Viertel und einen viertel Fisch.
4. Er verkauft ein Fünftel des Restes und einen fünftel Fisch.

Nun hat er noch 11 Goldfische übrig. Natürlich wird kein Fisch zerteilt oder irgendwie verletzt. Wie viele Fische hatte er am Anfang?

Aus J. Weilharter, Spaß mit Algorithmen, Seite 28ff

Programmcode:

g1:x1=x-(x/2+1/2);
g2:x2=x1-(x1/3+1/3);
g3:x3=x2-(x2/4+1/4);
g4:x4=x3-(x3/5+1/5);
g5:x4=11;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5],[x,x1,x2,x3,x4]);

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1387132335

 

Lineare Regression

Learning App: http://LearningApps.org/view361083

Man kontrolliere die einzelnen Rechnungen mit dem Geogebrazeichenblatt: http://www.geogebratube.org/student/m96676

Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-2113822514


Geogebrabook zum Thema: http://geogebratube.org/student/b119441#


Eine Polynomfunktion zu einer gegebenen Punkteliste bestimmen

Aufgabe:

Zu einer gegebenen (und geeigneten) Liste von Punkte ist die passende Polynomfunktion zu bestimmen. Der Grad des Polynoms ist automatisch um eins kleiner als die Anzahl der Punkte!

Programmcode:

kill(all);
Punkt:[[-3,0],[0,3],[2,0],[5,0]];
n:length(Punkt);
Grad:n-1;
g(x):=x[2]=sum(a[i]*x[1]^(n-i),i,1,Grad)+a[n];
Gleichungen:map(g,Punkt);
Unbekannte:makelist(a[i],i,1,n);
l:solve(Gleichungen,Unbekannte);
y=Unbekannte.makelist(x^(n-i),i,1,n),l;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1848088314

Erklärung der Berechnung: prog-punkte

  1. Löschen aller Speicher (nicht notwendig!).
  2. Liste der gegebenen Punkte –> EINGABE (darf verändert werden).
  3. Anzahl der gegebenen Punkte.
  4. Der Grad des gesuchten Polynoms ist um eins kleiner als die Anzahl der gegebenen Punkte.
  5. Funktionsmuster für die Bestimmungsgleichung der Polynomfunktion.
  6. Das Funktionsmuster auf die Punkteliste anwenden. Die Koordinaten der Punkte werden eingesetzt und die Liste der Gleichungen automatisch erzeugt.
  7. Die Liste der Unbekannten erzeugen. Die Verwendung von indizierten Koeffizienten ist notwendig.
  8. Lösung des Gleichungssystems.
  9. Die gesuchte Funktion mit Skalarmultiplikation (von Vektoren = Listen) erzeugen.

Noch eine Aufgabe inkl. Graph und Faktorenzerlegung:
http://maxima-online.org/?inc=r-1201857931

Teilebedarfsrechnung

Bild

Aufgabenstellung:

Teilebedarfsrechnung

Teilebedarfsrechung, auch Stücklistenauflösung genannt, ist eine wichtige Anwendung von linearen Gleichungssystemen in der Wirtschaftspraxis (in Produktionsbetrieben, wie z.B. Tischlereien).

A,B und C sind Rohstoffe, D,E und F Zwischenprodukte. G und H sind die Endprodukte für den Verkauf.

Die Grafik habe ich mit yEd erstellt: http://www.yworks.com/de/products_yed_about.html

Programmcode:

g1:a=3*d+2*e;
g2:b=5*d+4*f;
g3:c=7*d+2*f;
g4:d=2*g+4*h;
g5:e=10*g+3*h;
g6:f=2*g+2*h;
g7:g=200;
g8:h=300;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8],[a,b,c,d,e,f,g,h]);
Rohstoffbedarf:[a,b,c],l;

Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r1098012049

Ergebnis für die Rohstoffe A,B,C:

 [10600, 12000, 13200]

Eine Übung dazu:

Teilebedarf1

 

Es wurden nur Zahlen verändert, d.h. die Gleichungen müssen neu formuliert werden.

Berechnungen mit Parabeln

Ausgangspunkt

Mit diesem Geogebraarbeitsblatt kann man zahlreiche Aufgaben generieren:http://geogebratube.org/student/m2840 (von John Golden)

Vertex ist der Scheitelpunkt der Parabel.

1. Aufgabe

Aufgabe1

Man bestimme die Gleichung dieser Parabel!

Die Lösung ist einfach, weil man drei Punkte leicht ablesen kann.

Programmcode

x1:0;y1:-4;
x2:4;y2:4;
x3:8;y3:-4;
Parabel:y=a*x^2+b*x+c;
g1:Parabel,x=x1,y=y1;
g2:Parabel,x=x2,y=y2;
g3:Parabel,x=x3,y=y3;
l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
Parabel,l;

Aufgabe 2

Aufgabe2

Man bestimmte die Fläche des eingeschriebenen Dreiecks. Kluge Köpfe vermögen die Lösung durch Kopfrechnen anzugeben. Es soll aber gezeigt werden, wie die Fläche aus den Eckpunkten bestimmt werden kann.

Programmcode

x1:0;y1:-4;
x2:4;y2:4;
x3:8;y3:-4;
a:sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);
b:sqrt((x1-x3)^2+(y1-y3)^2);
c:sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);
s:(a+b+c)/2;
F:sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1218058705

Ellipse aus 5 Punkten

Obwohl die allgemeine Ellipsengleichung 6 Koeffizienten hat, reichen 5 Punkte aus, um diese Ellipse zu bestimmen. Dass man dabei auf ein unterbestimmtes Gleichungssystem stößt, ist in der Sekundarstufe II ein sehr interessantes Thema.

Mit Geogebra gezeichnet: http://www.geogebratube.org/student/m90326

Programm-Code:

xA:0;yA:2;
xB:3;yB:-2;
xC:10;yC:-1;
xD:12;yD:4;
xE:6;yE:5;
ellipse(x,y):=a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*y=f;
g1:ellipse(xA,yA);
g2:ellipse(xB,yB);
g3:ellipse(xC,yC);
g4:ellipse(xD,yD);
g5:ellipse(xE,yE);
g6:a=1 /* Man braucht 6 Gleichungen, wenn
man die gesamte Gleichung auch a dividiert,
vermindert man die Anzahl der Koeffizienten! */;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5,g6],[a,b,c,d,e,f]);

Mit Maxima Online gerechnet: http://maxima-online.org/?inc=r-149060398

Mit der gerechneten Gleichung gezeichnet (Geogebra):
http://www.geogebratube.org/student/m90323

Zusammenfassende Erklärung (Youtube): http://youtu.be/AwsHov4AFi4

Wenn die Verfügbarkeit von Internet unsicher isthttp://youtu.be/LOoICcOlnQU