Teilebedarfsrechnung

Aufgabenstellung:

Teilebedarfsrechnung

Teilebedarfsrechung, auch Stücklistenauflösung genannt, ist eine wichtige Anwendung von linearen Gleichungssystemen in der Wirtschaftspraxis (in Produktionsbetrieben, wie z.B. Tischlereien).

A,B und C sind Rohstoffe, D,E und F Zwischenprodukte. G und H sind die Endprodukte für den Verkauf.

Die Grafik habe ich mit yEd erstellt: http://www.yworks.com/de/products_yed_about.html

Programmcode:

g1:a=3*d+2*e;
g2:b=5*d+4*f;
g3:c=7*d+2*f;
g4:d=2*g+4*h;
g5:e=10*g+3*h;
g6:f=2*g+2*h;
g7:g=200;
g8:h=300;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8],[a,b,c,d,e,f,g,h]);
Rohstoffbedarf:[a,b,c],l;

Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r1098012049

Ergebnis für die Rohstoffe A,B,C:

 [10600, 12000, 13200]

Eine Übung dazu:

Teilebedarf1

 

Es wurden nur Zahlen verändert, d.h. die Gleichungen müssen neu formuliert werden.

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Berechnungen mit Parabeln

Ausgangspunkt

Mit diesem Geogebraarbeitsblatt kann man zahlreiche Aufgaben generieren:http://geogebratube.org/student/m2840 (von John Golden)

Vertex ist der Scheitelpunkt der Parabel.

1. Aufgabe

Aufgabe1

Man bestimme die Gleichung dieser Parabel!

Die Lösung ist einfach, weil man drei Punkte leicht ablesen kann.

Programmcode

x1:0;y1:-4;
x2:4;y2:4;
x3:8;y3:-4;
Parabel:y=a*x^2+b*x+c;
g1:Parabel,x=x1,y=y1;
g2:Parabel,x=x2,y=y2;
g3:Parabel,x=x3,y=y3;
l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
Parabel,l;

Aufgabe 2

Aufgabe2

Man bestimmte die Fläche des eingeschriebenen Dreiecks. Kluge Köpfe vermögen die Lösung durch Kopfrechnen anzugeben. Es soll aber gezeigt werden, wie die Fläche aus den Eckpunkten bestimmt werden kann.

Programmcode

x1:0;y1:-4;
x2:4;y2:4;
x3:8;y3:-4;
a:sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);
b:sqrt((x1-x3)^2+(y1-y3)^2);
c:sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);
s:(a+b+c)/2;
F:sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1218058705

Ellipse aus 5 Punkten

Obwohl die allgemeine Ellipsengleichung 6 Koeffizienten hat, reichen 5 Punkte aus, um diese Ellipse zu bestimmen. Dass man dabei auf ein unterbestimmtes Gleichungssystem stößt, ist in der Sekundarstufe II ein sehr interessantes Thema.

Mit Geogebra gezeichnet: http://www.geogebratube.org/student/m90326

Programm-Code:

xA:0;yA:2;
xB:3;yB:-2;
xC:10;yC:-1;
xD:12;yD:4;
xE:6;yE:5;
ellipse(x,y):=a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*y=f;
g1:ellipse(xA,yA);
g2:ellipse(xB,yB);
g3:ellipse(xC,yC);
g4:ellipse(xD,yD);
g5:ellipse(xE,yE);
g6:a=1 /* Man braucht 6 Gleichungen, wenn
man die gesamte Gleichung auch a dividiert,
vermindert man die Anzahl der Koeffizienten! */;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5,g6],[a,b,c,d,e,f]);

Mit Maxima Online gerechnet: http://maxima-online.org/?inc=r-149060398

Mit der gerechneten Gleichung gezeichnet (Geogebra):
http://www.geogebratube.org/student/m90323

Zusammenfassende Erklärung (Youtube): http://youtu.be/AwsHov4AFi4

Wenn die Verfügbarkeit von Internet unsicher isthttp://youtu.be/LOoICcOlnQU

Umkreis des Dreiecks aus den Eckpunkten

Grundaufgabe mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r1903732884

Aufgaben dazu:

(a) Zeichne das Dreieck mit Geogebra.
(b) Zeichne den Kreis mit Geogebra (aus der Gleichung).
(c) Beachte, dass man den Umkreis mit Geogebra auch direkt zeichnen kann!

Lösung rechtwinkeliges Dreieck: http://www.geogebratube.org/student/m90126

Lösung allgemeines Dreieck: http://www.geogebratube.org/student/m90143

Dreieck und Parabel

Aufgabe:

Man zeichne eine Parabel durch die Eckpunkte des Dreiecks
http://www.geogebratube.org/student/m89089 und kontrolliere die Gleichung der quadratischen Funktion.
Berechnung aus den drei Punkten mit (a) Maxima und b) Geogebra CAS.
Vereinbarung: Für verschiedene Aufgabestellungen darf NUR der Punkt C verändert werden.

Programmcode:

x1:0;y1:0;
x2:7;y2:0;
x3:4;y3:4;
g(x,y):=y=a*x^2+b*x+c;
g1:g(x1,y1);
g2:g(x2,y2);
g3:g(x3,y3);
l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
Parabel:g(x,y),l;

Berechnung der Parabel mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r282559695

Berechnung der Parabel mit Geogebra CAShttp://www.geogebratube.org/student/m89186

Teilebedarfsrechnung

Aufgabe:

teilebedarf

 

Grafische Darstellung:

teilebedarf1

Methode 1:

A: matrix(
[1,0,2],
[4,0,3],
[0,5,0]
);
B: matrix(
[6,3],
[2,4],
[0,5]
);
Output: matrix(
[100],
[200]
);
C:A.B;
Input:C.Output;

Abarbeitung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r948162503

Methode 2:

g1:g=100;
g2:h=200;
g3:d=6*g+3*h;
g4:e=2*g+4*h;
g5:f=5*h;
g6:a=1*d+2*f;
g7:b=4*d+3*f;
g8:c=5*e;
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8],[a,b,c,d,e,f,g,h]);
Rohstoff_A:a,l;
Rohstoff_B:b,l;
Rohstoff_C:c,l;

Abarbeitung mit Maxima Online:  http://maxima-online.org/?inc=r-865495627

Eine Zusatzübung zum Probieren:

teilebedarf1

Maximaler Umsatz

Aufgabenstellung:

maximaler_Umsatz

Quelle:
http://www.geogebratube.org/book/page/id/82448/chapter_id/243/material_id/82641#243

Programmcode:

A:[0,7];
B:[8,0];
g(x,p):=p=a*x+b;
g1:g(A[1],A[2]);
g2:g(B[1],B[2]);
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Nachfrage:g(x,p),l;
p:rhs(Nachfrage);
U:p*x;
ab:diff(U,x);
l:realroots(ab);
xUmax:x,l;
pUmax:p,l;
Umax:U,l;

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-427886813

Erklärung der Programmschritte:

max_ums

  1. Der Punkt A hat die Koordinaten x=0 und p=7. p=7 ist die Preisobergrenze (Höchstpreis), weil die Nachfrage auf x=0 sinkt!
  2. Der Punkt B hat die Koordinaten x=8 und p=0. x=8 ist die Sättigungsmenge, die Nachfrage, die man erzielt, wenn der p=0 ist.
  3. Wir machen einen Ansatz für eine lineare Nachfragefunktion in den Variablen x und p. Das macht das folgende Einsetzen der Punktkoordinaten sehr elegant.
  4. Einsetzen Punkt A.
  5. Einsetzen Punkt B.
  6. Das Gleichungssystem wird nach den Koeffizienten a und b aufgelöst, die sind nämlich unbekannt. l steht für die Lösungsmenge.
  7. Wir setzen die Werte aus der Lösungsmenge ein und erhalten so die Nachfragefunktion.
  8. Der Preis errechnet sich aus der rechten Seite der Nachfragefunktion.
  9. Der Umsatz ist Preis x Menge oder Menge x Preis.
  10. Weil wir das Maximum berechnen wollen, bestimmen wir die erste Ableitung.
  11. Die erste Ableitung muss 0 sein, das istdie notwendige Bedingung. l steht wieder für Lösungsmenge.
  12. Wir berechnen die umsatzmaximale Menge durch Einsetzen.
  13. Wir berechnen den umsatzmaximalen Preis durch Einsetzen.
  14. Wir berechnen den maximalen Umsatz durch Einsetzen.

 

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung (3 Kostenstellen)

Skizze der Aufgabenstellung:

lv-skizze

Erklärung der Abkürzungen:

PK = Primärkosten je Kostenstelle
LE = erstellte Leistungseinheiten je Kostenstelle
g1,g2 und g3 sind Gleichungen der Leistungsverflechtungen
l ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems
STK ist die Liste der Stückkosten k1,k2 und k3 je Kostenstelle

Programmcode:

PK:[20000,10000,50000];
LE:[100,200,400];
g1:LE[1]*k1=PK[1]+20*k2+10*k3;
g2:LE[2]*k2=PK[2]+10*k1+20*k3;
g3:LE[3]*k3=PK[3]+5*k1+10*k2;
l:solve([g1,g2,g3],[k1,k2,k3]),numer;
STK:[k1,k2,k3],l[1];
STK:map(floor,STK*100+0.5)/100.0;

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r403400261