Buch: Kosten- und Preistheorie

Um ein altes Versprechen einzulösen, habe ich etwas zum Thema „Kosten- und Preistheorie“ mit CAS Maxima und Geogebra für http://www.lehrer-online.de geschrieben. Gedacht ist es für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Analysis ist Voraussetzung!

Hier ist der Link zum WebReader (hier kann man die jeweils aktuelle Version online lesen).
http://papyrusebook.com/web/14543/Kosten-und-Preistheorie

Hier ist der Link zur Verkaufsseite, wo man das Buch im PDF-, EPUB- oder MOBI-Format kostenlos herunterladen kann!
http://papyrusebook.com/b/14543/Kosten-und-Preistheorie

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Titeldbild

 

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Preisobergrenze und Sättigungsmenge

Aufgabe:

Eine Nachfragefunktion ist gegeben durch p(x) = 0,11 x² -15 x +4,39 im Intervall [0,xs].
xs ist die Sättigungsmenge, wir müssen sie erst bestimmen.

Man bestimme

  1. die Sättigungsmenge und
  2. die Preisobergrenze

und zwar mit dem Geogebrazeichenblatt und mit Maxima Online.

Die notwendigen Programme findest du hier: https://casmaxima.wordpress.com/hilfe/software/

 

 

Zwei E-Books, gemacht mit PAPYRUSEDITOR

  1. http://papyrusebook.com/web/14543/Kosten-und-Preistheorie
  2. http://papyrusebook.com/web/14529/Finanzmathematik-mit-Maxima-und-Geogebra

Eine tolle Kombination:
BLOGeinträge in WORDPRESS oder BLOGGER als Notizen, E-Books mit PAPYRUSEDITOR als „Reinschrift„.

Anmerkung: Der Papyruseditor von Gaurav Tiwari ist erst die BETA-Version, funktioniert aber schon beeindruckend.

Diverse Aufgaben zur Kosten- und Preistheorie

Begriffserklärung:
Die Kosten- und Preistheorie ist eine Anwendung der Analysis (Infinitesimalrechnung) auf Fragestellungen der Betriebswirtschaftslehre. Das Anliegen ist, Erklärungsmodelle zu liefern.

Themen:

  • Nachfragefunktion
  • Sättigungsmenge
  • Preisobergrenze
  • Umsatz (Erlös)
  • Kosten
  • Gewinn

Aufgabe 1: Sättigungsmenge
Wenn der Preis sinkt, nimmt die Nachfrage normalerweise zu, bis man bei einem Preis p = 0 GE die Sättigungsmenge erreicht  (Snobeffekt: „Was nichts kostet, ist nichts wert!“).

Programmcode:

p(x):=0.11*x**2-1.5*x+4.39;
l:realroots(p(x)),numer;
xs:x,l[1];
xs:floor(xs*100+0.5)/100.0;

Erklärung:

  1. Gegeben ist eine quadratische Nachfragefunktion.
  2. Wenn der Preis Null ist, erhält man die Sättigungsmenge.
  3. Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, die erste davon ist die Sättigungsmenge.
  4. Die Sättigungsmenge wird auf 2 Dezimalen gerundet.

Lösung mit Maxima Online:

Sättigungsmenge: http://maxima-online.org/?inc=r-1303960272
Mit Probe: http://maxima-online.org/?inc=r-1005449959

Zusatzaufgaben:

  1. Man zeichne die Nachfragefunktion mit Maxima.
  2. Man zeichne die Nachfragefunktion mit Geogebra.
  3. Man ermittle die Sättigungsmenge mit Geogebra.

Aufgabe 2: Preisobergrenze
Wenn der Preis zu hoch wird, sinkt die Nachfrage auf NULL.  Diese Preisobergrenze wird auch als Höchstpreis bezeichnet. Wir bestimmen zunächst eine quadratische Nachfragefunktion aus drei Punkten und berechnen dann die Preisobergrenze.

Programmcode:

Nachfrage:[[0,10],[4,3],[8,0]];
g(X):=X[2]=a*X[1]^2+b*X[1]+c;
g:map(g,Nachfrage);
l:solve(g,[a,b,c]);
p:a*x^2+b*x+c,l;
plot2d([p], [x,0,8]);

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-551113382
mit Berechnung der Preisobergrenze: http://maxima-online.org/?inc=r-969524826

 

 

Lineare Kostenfunktion

Bild

Lineare Kostenfunktion

Die Gesamtkosten sind die Summe aus fixen und variablen Kosten. Die Fixkosten sind die Kosten beim Betriebsstillstand und werden auch Bereitschaftskosten genannt. Die variablen Kosten für 1 ME wollen wir als proportionale Kosten bezeichnen.

Programmcode:

K(x):=5*x+10000;
F:K(0);
V(x):=K(x)-F;
k:V(1);

oder:

K:5*x+10000;
F:K,x=0;
V:K-F;
k:V,x=1;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r572386837

Maximaler Umsatz

Aufgabenstellung:

maximaler_Umsatz

Quelle:
http://www.geogebratube.org/book/page/id/82448/chapter_id/243/material_id/82641#243

Programmcode:

A:[0,7];
B:[8,0];
g(x,p):=p=a*x+b;
g1:g(A[1],A[2]);
g2:g(B[1],B[2]);
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Nachfrage:g(x,p),l;
p:rhs(Nachfrage);
U:p*x;
ab:diff(U,x);
l:realroots(ab);
xUmax:x,l;
pUmax:p,l;
Umax:U,l;

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-427886813

Erklärung der Programmschritte:

max_ums

  1. Der Punkt A hat die Koordinaten x=0 und p=7. p=7 ist die Preisobergrenze (Höchstpreis), weil die Nachfrage auf x=0 sinkt!
  2. Der Punkt B hat die Koordinaten x=8 und p=0. x=8 ist die Sättigungsmenge, die Nachfrage, die man erzielt, wenn der p=0 ist.
  3. Wir machen einen Ansatz für eine lineare Nachfragefunktion in den Variablen x und p. Das macht das folgende Einsetzen der Punktkoordinaten sehr elegant.
  4. Einsetzen Punkt A.
  5. Einsetzen Punkt B.
  6. Das Gleichungssystem wird nach den Koeffizienten a und b aufgelöst, die sind nämlich unbekannt. l steht für die Lösungsmenge.
  7. Wir setzen die Werte aus der Lösungsmenge ein und erhalten so die Nachfragefunktion.
  8. Der Preis errechnet sich aus der rechten Seite der Nachfragefunktion.
  9. Der Umsatz ist Preis x Menge oder Menge x Preis.
  10. Weil wir das Maximum berechnen wollen, bestimmen wir die erste Ableitung.
  11. Die erste Ableitung muss 0 sein, das istdie notwendige Bedingung. l steht wieder für Lösungsmenge.
  12. Wir berechnen die umsatzmaximale Menge durch Einsetzen.
  13. Wir berechnen den umsatzmaximalen Preis durch Einsetzen.
  14. Wir berechnen den maximalen Umsatz durch Einsetzen.

 

Aufgabe zur Kosten- und Preistheorie

Aufgabenstellung in Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1876422277

Ausführlich:

„“/*Die monatlichen Gesamtkosten eines Betriebes lassen sich durch folgende Gleichung beschreiben:*/;
K(x) := 0.5*x^2 + 175*x + 45000;

„“/*Die Nachfragefunktion lautet:*/;
p(x) := 700 – 0.25*x;

„“/*a) Berechne, bei welcher Menge das Betriebsoptimum liegt, und wie groß die langfristige Preisuntergrenze ist. Ermittle, welchem Stückgewinn dies entspricht.*/;

„“/*b) Berechne die Koordinaten des Cournotschne Punktes, und ermittle den maximalen Gewinn.*/;

„“/**c) Ermittle, bei welchen Absatzmengen die Grenzen der Gewinnzone liegen.*/;

„“/*d) Berechne die Menge und den Preis, bei dem der größte Erlös entsteht. Gib diesen an.*/;

„“/*e) Beweise, dass die quadratische Kostenfunktion kein Betriebsminimum besitzt.*/;

„“/*f) Berechne die Absatzelastizitäten im Cournotschen Punkt und im Betriebsoptimum.*/;

„“/*g) Stelle die Kosten- , Erlös- und Gewinnfunktion in einem Diagramm grafisch dar und markiere die in b), c) und d) errechneten Punkte. */;

 

Lösung der Teilaufgaben (a) bis (d): http://maxima-online.org/?inc=r-221675146

S-förmiger Kostenverlauf

Der s-förmige Kostenverlauf wird am besten mit einer kubischen Kostenfunktion dargestellt.

Geogebratubehttp://www.geogebratube.org/student/m78623

Anregung  zum Geogebra-Arbeitsblatt: Durch Ziehen an mindestens einem von den Punkten A,B,C und D in der Grafik kann man die Kostenfunktion ändern. Aber aufpassen, die Gesamtkosten (hier f(x)) sind streng monoton steigend! Im Algebra-Fenster kann man Punkte und Funktion verändern.

Veränderungen an den Punkten A und B:aktion_A_B

Aufgabe 1:

  • Man nehme die Gesamtkosten aus Geogebratube.
  • Man berechne die Fixkosten.
  • Man berechne die Durchschnittskosten.
  • Man berechne die langfristige Preisuntergrenze.
  • Der Preis sein das 10-fache der langfristigen Preisuntergrenze.
  • Man bestimme den Umsatz ( = Erlös).
  • Man bestimme die Gewinnfunktion.
  • Man bestimme die Gewinngrenzen.
  • Man bestimme den maximalen Gewinn.

Programmcode (Algorithmus):
PDF-Dokumentation:
Typische Aufgabe aus der Kosten- und Preistheorie

K:(2+2/3)*x^3-50*x^2+(383+1/3)*x+1000;
F:K,x=0;
D:K/x;
ab:diff(D,x);
l:realroots(ab),numer;
BO:x,l;
BO:floor(BO*10+0.5)/10.0;
LPU:D,x=BO;
LPU:floor(LPU*100+0.5)/100.0;
p:10*LPU;
U:p*x;
G:U-K;
l:realroots(G),numer;
GS:x,l[2];
GS:floor(GS*10+0.5)/10.0;
GG:x,l[3];
GG:floor(GG*10+0.5)/10.0;
ab:diff(G,x);
l:realroots(ab),numer;
xGmax:x,l[2];
xGmax:floor(xGmax*10+0.5)/10.0;
Gmax:G,x=xGmax;
Gmax:floor(Gmax*100+0.5)/100.0;

Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-1056647715

Aufgabe 2:

Basis ist das Geogebra-Arbeitsblatt!aufgabe2

Exemplarische Lösung der ersten Teilaufgabe mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r-109357977