Quadratische Kostenfunktion

Themen:

  • Kostenfunktion
  • Preis
  • Durchschnittskosten
  • Betriebsoptimum
  • Langfristige Preisuntergrenze
  • Umsatz- bzw. Erlösfunktion
  • Gewinnfunktion
  • Break Even Point
  • Gewinnzone
  • Gewinnmaximum

Grundlegende Aufgabe:

Image

 

Eln Beispiel ohne Computer:

BO_LPU

Lösung von Teilaufgabe (a) mit Geogebrahttp://www.geogebratube.org/student/m68597

Klassische Lösung der Teilaufgabe (a)

Programmcode:

K:0.1*x^2+2*x+40 /* gegebene Kostenfunktion */;
D:K/x /* Berechnung der Durchschnittskosten */;
ab:diff(D,x) /* Ableitung der Durchschnittskosten */;
l:solve(ab=0,x) /* erste Ableitung NULL setzen als notwendiges Kriterium */;
BO:x,l[2]/* das Betriebsoptimum, die Menge für die kleinsten Durchschnittskosten */;
LPU:D,x=BO /* langfristige Preisuntergrenze = Minimum der Durchschnittskosten */;

Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r725643234
Dokumentierthttp://maxima-online.org/?inc=r-1031951092

Lösung mit Maxima Online mit Listenverarbeitung:
http://maxima-online.org/?inc=r-706163691
mit Ergebnistabelle: http://maxima-online.org/?inc=r-136719621

Aus dieser Ergebnistabelle kann man weitere Aufgaben ableiten!

Ergebnis

Eine solche Zusatzaufgabe ist:

quadratische Kostenfunktion konstanter preis.bmp

Tabelle in Kostenfunktionsliste verwandeln:
http://maxima-online.org/?inc=r1464178639

Berechnung der Gewinnzonen:
http://maxima-online.org/?inc=r-1366676762

Die komplette Abrechnung:
http://maxima-online.org/?inc=r418600268

Die Lösung der Zusatzaufgabe:

loesung_gewinn

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Nachfragefunktion bestimmen

Graphische Darstellung:

Image

Algorithmus:

x1:0;p1:5;
x2:8;p2:0;
g(x,p):=p=a*x+b;
g1:g(x1,p1);
g2:g(x2,p2);
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Nachfrage:g(x,p),l;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1366337180
PDF-Sicherung: r-1366337180

Der Algorithmus kann auch so formuliert werden:

P1:[x=0,p=5];
P2:[x=8,p=0];
g:p=a*x+b;
g1:g,P1;
g2:g,P2;
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Nachfrage:g,l;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1427139021

Gewinnschwellen und Cournotscher Punkt

Ausgangslage: http://www.geogebratube.org/student/m64058
Interpretation: Grafische Darstellung einer quadratischen Erlösfunktion und einer quadratischen Kostenfunktion.

Was gibt es zu berechnen?

  • Die Erlösfunktion.
  • Die Kostenfunktion.
  • Die Gewinnfunktion.
  • Die Nachfragefunktion.

Erlösfunktion durch C,D und B und Nachfragefunktion mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-44669822

Kostenfunktion durch M,F und G mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r310156845

Grundlage für weitere Aufgaben sind die errechneten Erlös- und Kostenfunktionen:

  • E = -8/25 x² + 16/5 x
  • K = 8/105 x² + 4/105 x + 1

Gewinnzone mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1584557476
Cournotscher Punkt mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-970692400

Kosten- und Preistheorie

Aufgabe:

„*“/* Von einer Kostenfunktion ist folgendes bekannt: */;
„*“/* Die Fixkosten betragen 36 GE */;
„*“/* Bei einer Menge von x = 10 ME betragen die Gesamtkosten 216 GE */;
„*“/* Für x = 20 ME betragen die Gesamtkosten 596 GE */;
„*“/* Wie lautet die quadratische Kostenfunktion? */;
K(x):=a*x^2+b*x+c;
g1:K(0)=36;
g2:K(10)=216;
g3:K(20)=596;
l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
K:a*x^2+b*x+c,l /* errechnete Kostenfunktion */;

Kostenfunktion mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r268861769

„*“/* Das Betriebsoptimum ist jene Produktionsmenge, bei der die */;
„*“/* Durchschnittskosten am kleinsten sind. */;
„*“/* So wird es berechnet: */;
ab:diff(K/x,x);
l:solve(ab=0,x);
BO:x,l[2];
„*“/* ALTERNATIVE Berechnungsmethode */;
l:solve(K/x=diff(K,x),x);
BO:x,l[2];

Betriebsoptimum mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1076321557

„*“/* Das Minimum der Durchschnittskosten (Stückkosten) */;
„*“/* ist die langfristige Preisuntergrenze. */;
„*“/* Wir berechnen diese: */;
LPU:K/x,x=BO;

Langfristige Preisuntergrenze mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r-645946022

Zum Thema Nachfragefunktion

Eine Nachfragefunktion beschreibt den Zusammenhang der nachgefragten Menge (abhängige Variable x) mit dem Preis (unabhängige Variable p). Es wird häufig das normale Nachfragegesetz unterstellt: steigt der Preis, sinkt die Nachfrage und umgekehrt. Eine bekannte Ausnahme ist der Snobeffekt. Die Nachfragefunktion entspricht (irgendwie) dem Verhalten der Konsument/inn/en.

Achtung: Normalerweise wird die unabhängige Variable auf der Abszissenachse und die abhängige Variable auf der Ordinatenachse abgetragen. Bei der Nachfragepunktion hat es sich in anders eingebürgert: p=p(x) statt x = x(p)

1. Aufgabe: Lineare Nachfragefunktion

Eine lineare Nachfragefunktion ist durch zwei Punkte gegeben.

nachfrage

Programcode:

x1:0;p1:5;
x2:10;p2:0;
g:p=a*x+b;
g1:g,x=x1,p=p1;
g2:g,x=x2,p=p2;
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Nachfragefunktion:g,l;

Erklärung:

lf1

  1. Die Preisobergrenze (der Höchstpreis) ist 5 GE, da ist dann die Nachfrage auf 0 ME gesunken.
  2. Wenn man das Produkt verschenkt, werden 10 ME nachgefragt. Das ist die Sättigungsmenge.
  3. Ansatz für eine lineare Nachfragefunktion.
  4. Koordinaten des ersten Punktes einsetzen.
  5. Koordinaten des zweiten Punktes einsetzen.
  6. Das Gleichungssystem nach den unbekannten Koeffizienten auflösen.
  7. Die gefundenen Koeffizienten in die Nachfragefunktion einsetzen.

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r701159078

2. Aufgabe: Lineare Nachfragefunktion

Die Marktforschung für eine Ware ergab, dass der
Monatsumsatz bei einem Verkaufspreis von p1 €
x1 ME, bei p2 € nur noch x2 ME betrug.
Wie groß ist der Absatz x3 bei einem Stückpreis
von p3 € ?

Programmcode:

p1:1;x1:1000;
p2:2;x2:900;
p3:3;
g(p,x):=p=a*x+b;
g1:g(p1,x1);
g2:g(p2,x2);
l:algsys([g1,g2],[a,b]);
A:a,l[1][1];
B:b,l[1][2];
Nachfrage:p=A*x+B;
g:solve(Nachfrage,x);
Absatz:x,g[1];
x3:ev(Absatz,p=p3);
print("Der gesuchte Absatz ist",x3);

 Lösung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r749682105

3. Aufgabe: Quadratische Nachfragefunktion

Von einer quadratischen Nachfragefunktion ist bekannt:

a) bei einem Preis von 3€ können 1000 Stück verkauft werden,
b) bei einem Preis von 1€ können 3000 Stück verkauft werden und
c) die Sättigungsmenge beträgt 5000 Stück!

Man ermittle diese Funktion und zeichne diese mit Geogebra!

Programmcode:

x1:1000$p1:3$
x2:3000$p2:1$
x3:5000$p3:0$
g(x,p):=p=a*x**2+b*x+c;
g1:g(x1,p1);
g2:g(x2,p2);
g3:g(x3,p3);
k:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
Nachfrage:g(x,p),k;
p:rhs(Nachfrage);
p(x):=''p
/** Das ist die gesuchte Nachfragefunktion */;
plot2d([p(x)], [x,0,5200])$

Die „$“ Zeichen (Echo-Unterdrückung) sind nur in wxMaxima wirksam. Maxima Online macht „;“ daraus.

Ausführung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-1930608879

Die Funktion soll auch mit Geogebra gezeichnet werden!

S-förmiger Kostenverlauf

Begriffserklärung:
Eine Kostenfunktion stellt (innerhalb der Wirtschaftswissenschaften) eine eindeutige Zuordnung der Kosten K(x) zu einer Bezugsgröße x  dar.
Unsere Bezugsgröße ist meistens die Produktionsmenge in ME (Mengenheiten, z.B. Stück).
Ein s-förmiger Kostenverlauf (zuerst degressiv und nach der Kostenkehre progressiv) lässt sich aus dem Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag herleiten. Die praktische Anwendbarkeit wird allerdings angezweifelt.

Ausgangssituation:

In den Mathematiklehrbüchern werden bei den Aufgaben der Kosten- und Preistheorie häufig Funktionen vorgegeben. Zur Theorie passende Funktionen muss man aber erst einmal finden.
Hier hilft Geogebra: http://www.geogebratube.org/student/m108070
Erklärung zur „Konstruktion“:sfkk_konstruktionDurch Ziehen an den Punkten kann man die Aufgabenstellungen einfach verändern.
Man kann die Geogebra-Datei für die lokale Verwendung herunterladen: http://www.geogebratube.org/material/download/format/file/id/108070

Aufgaben für die Lösung mit Maxima:

  1. Man bestimme die Kostenfunktion aus den Punkten A,B,C und D.
  2. Man bestimme die Fixkosten.
  3. Man bestimme die Kostenkehre.
  4. Man bestimme das Betriebsoptimum.
  5. Man bestimme die langfristige Preisuntergrenze.

Ein ungewöhnlicher Programmcode zur Bestimmung der Kostenfunktion:Berechnung von PolynomfunktionenWenn in Zeile (1) zwei Punkte gegebenen sind, erhält man eine lineare, bei drei Punkten eine quadratische und bei vier Punkten eine kubische Kostenfunktion. Um die kubische Kostenfunktion geht es beim s-förmigen Kostenverlauf.

Erklärung, wie das Programm Nr. 1 welches nicht nur für kubische, sondern auch für lineare und quadratische Kostenfunkitonen geeignet ist, funktioniert:

  1. Eingabe der gegebenen Punkte in Listenform.
  2. Da zwei, drei oder vier Punkte sinnvoll sein können, muss das Programm prüfen, wie viele Punkte gegeben sind.
  3. Der Grad des Polynoms ist um eins niedriger als die Anzahl der Punkte.
  4. Hier  wird ein raffinierter Ansatz verwendet.
    g(x) ist eine Funktion mit einem Punkt x:[x[1],x[2]] als Argument.
    Die Obergrenze der Summation muss n-1 = Grad und nicht n sein, da sonst der unbestimmte Fall 0^0 auftreten könnte. Dafür einfach a[n] ausserhalb hinzufügen.
  5. Die zwei, drei oder vier Gleichungen werden automatisch mit map erzeugt.
  6. Wie wir in (4) bemerkt haben, sind die unbekannten Koeffizienten nicht a,b,c,… sondern a[1],a[2],…,a[n].
  7. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems wird ermittelt.
  8. Mit Hilfe der Skalarmultiplikation von Vektoren (Listen) wird die Kostenfunktion berechnet und ausgegeben.

Lösungen mit Maxima-Online unter Verwendung eines früheren Programms: https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/

  1. http://maxima-online.org/?inc=r-1197448632
  2. http://maxima-online.org/?inc=r-375516577
  3.  http://maxima-online.org/?inc=r-32032642
  4. http://maxima-online.org/?inc=r1686026510
  5. http://maxima-online.org/?inc=r1686026510

 

Schraffierte Fläche berechnen

Schraffierte Fläche berechnen

Man kann hier die 4 Punkte A,B,C und D leicht ablesen. Daraus lässt sich die schraffierte Fläche berechnen. Man kann auch mit dem Geogebra-Zeichenblatt rechnen 🙂

Die Lösung mit dem Zeichenblatt:

flächenintegral

Die Lösung mit dem Zeichenblatt ist weitgehend eine BLACK BOX Methode, daher gibt es noch den Bedarf der rechnerischen Kontrolle!

Programmcode:

g:y=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
g1:g,x=-3,y=0;
g2:g,x=0,y=3;
g3:g,x=2,y=0;
g4:g,x=5,y=0;
l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]);
kurve:ev(g,l);
f(x):=''rhs(kurve);
F:integrate(f(x),x,-3,2)+abs(integrate(f(x),x,2,5));
F:floor(F*100+0.5)/100.0;

Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r89496227

Wie die Rechnung funktioniert:

nummeriertes_programm

  1. Wir machen eine Gleichung g mit dem allgemeinen Ansatz für eine Polynomfunktion dritten Grades. Die Koeffizienten a,b,c und d sind unbekannt. 4 Unbekannte bedeutet, dass wir 4 Gleichungen benötigen. Da die ablesbaren Punkte A,B,C und D auf der gesuchten Kurve liegen sollen, kann man ihre Koordinaten in die Gleichung einsetzen.
  2. Wir setzen die Koordinaten des Punktes A in die Gleichung ein.
  3. Wir setzen die Koordinaten des Punktes B in die Gleichung ein.
  4. Wir setzen die Koordinaten des Punktes C in die Gleichung ein.
  5. Wir setzen die Koordinaten des Punktes D in die Gleichung ein.
  6. Wir lösen das System der vier Gleichungen g1,g2,g3 und g4 nach den Unbekannten a,b,c und d auf.
  7. Wir setzen die Lösungen für a,b,c und d in den allgemeinen Ansatz ein und erhalten die Gleichung der Polynomfunktion.
  8. Wir erzeugen die kubische Funktion.
  9. Wir integrieren die kubische Funktion in zwei Teilen. Beim zweiten Teil müssen wir den Absolutbetrag nehmen, weil das bestimmte Integral in diesem Bereich negativ ist und sonst die Fläche kleiner würde.
  10. Wir runden die Fläche auf 2 Nachkommastellen.

Regressionsrechnung (partielle Ableitungen)

Altes Material als Ausgang (eventuell mit der rechten Maustaste herunterladen)

D1870_F_vollstaendige_Loesung_lineare_Regression.wxmx
D1871_F_vollstaendige_Loesung_quadratische_Regression.wxmx
D1872_F_vollstaendige_Loesung_kubische_Regression.wxmx

Wir werden das mit Maxima Online bearbeiten.

Programmcode Lineare Regression:

kill(all);
x:[1,2,3,4,5];y:[11,21,31,41,51];n:length(x);
f(a,b):=sum((y[i]-a*x[i]-b)**2,i,1,n);
ab1:diff(f(a,b),a);
ab2:diff(f(a,b),b);
g1:ab1=0;
g2:ab2=0;
g1:g1,expand;
g2:g2,expand;
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Regressionsgerade:Y=a*X+b,l;

Verarbeitung Lineare Regression: http://maxima-online.org/?inc=r-1428388758

Programmcode Quadratische Regression:

kill(all);
x:[1,2,3,4,5];y:[6,11,18,27,38];n:length(x);
f(a,b,c):=sum((y[i]-a*x[i]**2-b*x[i]-c)**2,i,1,n);
ab1:diff(f(a,b,c),a),expand;
ab2:diff(f(a,b,c),b),expand;
ab3:diff(f(a,b,c),c),expand;
g1:ab1=0;
g2:ab2=0;
g3:ab3=0;
l:solve([g1,g2,g3],[a,b,c]);
Regressionsparabel:Y=a*X**2+b*X+c,l;

Verarbeitung Quadratische Regression: http://maxima-online.org/?inc=r1771287512

Programmcode Kubische Regression:

kill(all);
x:[1,2,3,4,5];y:[11,18,37,74,135];n:length(x);
f(a,b,c,d):=sum((y[i]-a*x[i]**3-b*x[i]**2-c*x[i]-d)**2,i,1,n);
ab1:diff(f(a,b,c,d),a),expand;
ab2:diff(f(a,b,c,d),b),expand;
ab3:diff(f(a,b,c,d),c),expand;
ab4:diff(f(a,b,c,d),d),expand;
g1:ab1=0;
g2:ab2=0;
g3:ab3=0;
g4:ab4=0;
l:solve([g1,g2,g3,g4],[a,b,c,d]);
Regressions_kubische_Parabel:Y=a*X**3+b*X**2+c*X+d,l;

Verarbeitung Kubische Regression: http://maxima-online.org/?inc=r-1601989999