Endwert einer Rente

Nachschüssig:

„*“/* ENDWERT EINER NACHSCHÜSSIGEN RENTE */;
„*“/* Eingabe der Rentenrate */;
R:1000;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Eingabe der Laufzeit in Jahren */;
n:10;
„*“/* Berechnung von i */;
i:1/100.0;
„*“/* Berechnung vom Aufzinsungsfaktor */;
r:1+i;
„*“/* Berechnung vom Endwert */;
E:R*(r^n-1)/i;
„*“/* Rundung des Endwertes */;
E:floor(E*100+0.5)/100.0;

Vorschüssig:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* ENDWERT EINER VORSCHÜSSIGEN RENTE */;
„*“/* Eingabe der Rentenrate */;
R:1000;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Eingabe der Laufzeit in Jahren */;
n:10;
„*“/* Berechnung von i */;
i:1/100.0;
„*“/* Berechnung vom Aufzinsungsfaktor */;
r:1+i;
„*“/* Berechnung von d */;
d:i/r;
„*“/* Berechnung vom Endwert */;
E:R*(r^n-1)/d;
„*“/* Rundung des Endwertes */;
E:floor(E*100+0.5)/100.0;
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Zinseszinsrechnung

Endkapital:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung des Endkapitals */;
„*“/* Eingabe des Anfangskapitals */;
Ko:1000;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Eingabe der Laufzeit in Jahren */;
n:10;
„*“/* Berechnung von i */;
i:p/100.0;
„*“/* Berechnung Aufzinsungsfaktor */;
r:1+i;
„*“/* Berechnung Endkapital */;
Kn:Ko*r^n;
„*“/* Rundung Endkapital */;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Anfangskapital:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung des Anfangskapitals */;
„*“/* Eingabe des Endkapitals */;
Kn:1343.92;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Eingabe der Laufzeit in Jahren */;
n:10;
„*“/* Berechnung von i */;
i:p/100.0;
„*“/* Berechnung Aufzinsungsfaktor */;
r:1+i;
„*“/* Berechnung Anfangskapital */;
Ko:Kn/r^n;
„*“/* Rundung Anfangskapital */;
Ko:floor(Ko*100+0.5)/100.0;

Zinssatz:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung vom Zinssatz */;
„*“/* Eingabe des Anfangskapitals */;
Ko:1000;
„*“/* Eingabe der Laufzeit in Jahren */;
n:10;
„*“/* Eingabe des Endkapitals */;
Kn:1343.92;
„*“/* Berechnung Aufzinsungfaktor */;
r:(Kn/Ko)^(1/n);
„*“/* Berechnung von i */;
i:r-1;
„*“/* Berechnung Zinssatz */;
p:i*100;
„*“/* Rundung Zinssatz */;
p:floor(p*1000+0.5)/1000.0;

Tage:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung der Laufzeit in Jahren*/;
„*“/* Eingabe des Anfangskapitals */;
Ko:1000;
„*“/* Eingabe des Endkapitals */;
Kn:1343.92;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Berechnung von i */;
i:p/100.0;
„*“/* Berechnung des Aufzinsungsfaktors */;
r:1+i;
„*“/* Berechnung der Laufzeit */;
n:(log(Kn)-log(Ko))/log(r);
„*“/* Runden der Laufzeit */;
n:floor(n*10+0.5)/10.0;

Einfache Zinsenrechnung

Zinsen:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung der Zinsen */;
„*“/* Eingabe des Kapitals */;
K:1000;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Eingabe der Tage */;
t:180;
„*“/* Berechnung der Zinsen */;
Z:K*p*t/36000.0;

Kapital:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung des Kapitals */;
„*“/* Eingabe der Zinsen */;
Z:15;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Eingabe der Tage */;
t:180;
„*“/* Berechnung des Kapitals */;
K:Z*36000.0/(p*t);

Zinssatz:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung vom Zinssatz */;
„*“/* Eingabe des Kapitals */;
K:1000;
„*“/* Eingabe der Tage */;
t:180;
„*“/* Eingabe der Zinsen */;
Z:15;
„*“/* Berechnung Zinssatz */;
p:Z*36000.0/(K*t);

Tage:

Kommentar Maxima Anweisung
„*“/* Berechnung der Tage */;
„*“/* Eingabe des Kapitals */;
K:1000;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Eingabe der Zinsen */;
Z:15;
„*“/* Berechnung der Tage */;
t:Z*36000.0/(K*p);

Berechnung der Laufzeit

„*“/* Berechnung der Laufzeit in Jahren*/;
„*“/* Eingabe des Anfangskapitals */;
Ko:1000;
„*“/* Eingabe des Endkapitals */;
Kn:1343.92;
„*“/* Eingabe vom Zinssatz */;
p:3;
„*“/* Berechnung von i */;
i:p/100.0;
„*“/* Berechnung des Aufzinsungsfaktors */;
r:1+i;
„*“/* Berechnung der Laufzeit */;
n:(log(Kn)-log(Ko))/log(r);
„*“/* Runden der Laufzeit */;
n:floor(n*10+0.5)/10.0;

Berechnung des Zinssatzes

„*“/* Berechnung vom Zinssatz */;
„*“/* Eingabe des Anfangskapitals */;
Ko:1000;
„*“/* Eingabe der Laufzeit in Jahren */;
n:10;
„*“/* Eingabe des Endkapitals */;
Kn:1343.92;
„*“/* Berechnung Aufzinsungfaktor */;
r:(Kn/Ko)^(1/n);
„*“/* Berechnung von i */;
i:r-1;
„*“/* Berechnung Zinssatz */;
p:i*100;
„*“/* Rundung Zinssatz */;
p:floor(p*1000+0.5)/1000.0;
http://maxima-online.org/?inc=r-949217077

Zinseszins

Zinseszins

Aufgaben der Finanzmathematik  sind besonders gut für die Anwendung eines Computeralgebrasystems geeignet.

Ko = Anfangskapital
p = Zinsatz dekursiv p.a. in Prozent
i = p/100 = Interest (engl.), der Zinssatz als Dezimalzahl
r = Aufzinsungsfaktor
n = Laufzeit (in Jahren)
Kn = Endkapital

Programmcode: http://maxima-online.org/?inc=r1082931755

Ko:1000;
p:3;
n:10;
i:p/100.0;
r:1+i;
Kn:Ko*r**n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r1082931755
Mit „finance“-Unterprogramm: http://maxima-online.org/?inc=r10577185 (die Verwendung von Unterprogrammen für so einfache Aufgabenstellung sollte man vermeiden, es sei den, das Unterprogramm wird entweder selbst geschrieben oder wenigstens genau analysiert. Black Box Methoden wie Taschenrechnerverwendung haben wenig Bildungswert).

In diesem Fall wird die benutzerdefinierte Funktion

fv(i,Ko,n):=Ko*(1+i)^n

verwendet, das ist einfach zu verstehen.

Mapping-Übung: http://maxima-online.org/?inc=r1869469945

Übung:
Berechnung des Endkapitals

Anfangskapital Ko Zinssatz in % p Laufzeit n Endkapital Kn
1000,– 3 10  
1500,– 2,5 8  
700,– 2 11  
2000,– 2,125 6  

Das kann man natürlich auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lösen. Aber, es soll natürlich auf möglichst einfache Weise mit Maxima gelöst werden.

Endwert einer nachschüssigen Rente

Endwert einer nachschüssigen Rente

Die Grundaufgabe der Rentenrechnung

Programmcode:

R:5000;
p:4;
n:5;
i:p/100.0;
r:1+i;
E:R*(r**n-1)/i,numer;
E:E*r**2;
E:floor(E*100+0.5)/100.0;

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-337318279

Wie könnte die Aufgabenstellung für die folgende Rechnung formuliert sein?
http://maxima-online.org/?inc=r-1823711827

Berechnung des Endkapitals bei unregelmäßigen Zahlungen

Grundaufgabe:

Quelle: http://www.lungau-academy.at/Mathematik-Tests/Fuenf_aufeinanderfolgende_Zahlungen.htm (bisher nur für Windows getestet).

„“/*
Jemand zahlt sofort 7665 €,
nach einem Jahr 4840 €,
nach zwei Jahren 3526 €,
nach drei Jahren 339 € und
nach vier Jahren 3820 €.
Bei einem Zinssatz von 5.125 %
ergibt sich nach 11 Jahren
das Endkapital Kn €.*/;

Programmcode:

Zahlung:[[7665,0],[4840,1],[3526,2],[339,3],[3820,4]];
p:5.125;
r:1+p/100.0;
n:11;
BW(x):=x[1]/r^x[2];
Barwert:map(BW,Zahlung);
m:length(Barwert);
Ko:sum(Barwert[i],i,1,m);
Kn:Ko*r^n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r-886888242

Aufgaben:
(Ausgangssituation ist immer die Grundaufgabe)

  1. Wie hoch ist der Endwert, wenn der Zinssatz auf 3% verringert wird?
  2. Wie hoch ist der Endwert, wenn die zweite Zahlung um € 2000,– höher ist und der Zinssatz nur 1,5% beträgt?
  3. Wie ist es, wenn die fünfte Zahlung erst nach 7 Jahren erfolgt?

Erklärung des Programms:

code

  1. Liste mit Zahlungen und Fälligkeit (in jahren nach Beginn) -> EINGABE
  2. Zinssatz in % dek. p.a. –> EINGABE
  3. Berechnung de Aufzinsungsfaktors
  4. Laufzeit in Jahren –> EINGABE
  5. Barwertfunktion mit Liste als Argument
  6. Anwendung der Barwertfunktion auf die Zahlungsliste
  7. Länge der Barwertliste
  8. Summe aller Barwerte („Anfangskapital“)
  9. Endwert (Endkapital)
  10. Runden des Endkapitals auf zwei Nachkommastellen

 

Zinseszinsrechnung mit tabellarischer Ausgabe

Aufgabe:

Eine Anzahl m von Aufgaben zur Zinseszinsrechnung ist zu lösen. Gesucht ist das Endkapital.

Programmcode:

Ko:[1000,1000,2000,3000,4000,5000];
p:[3,2.25,1.875,2.5,3,2.785];
n:[10,10,9,3,7,6];
i:p/100.0;
r:1+i;
m:length(Ko);
Kn:makelist(Ko[i]*r[i]^n[i],i,1,m);
Liste:makelist([Ko[i],p[i],n[i],Kn[i]],i,1,m);
print("");
printf(true,"~{~{~9,2f ~}~%~}",Liste);

Ko : Anfangskapital
p : Zinssatz dek. p.a.
n : Laufzeit in Jahren
i : Zinssatz als Dezimalzahl
Kn : Endkapital

Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-862965041

Bessere Version: http://maxima-online.org/?inc=r-239382725

Eine sehr elegante Lösung, allerdings ohne tabellarische Ausgabe:
http://maxima-online.org/?inc=r-995003097