Einfache Zinsenrechnung

GeoGebra Bookhttp://www.geogebratube.org/book/title/id/89792

Auf der Basis des obigen Geogebra-Books soll ein entsprechendes Maxima-Programm erstellt werden!

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Bruttoberechnung

Gegeben ist ein Python-Programm: http://www.lungau-academy.at/pythonkurs/Brutto1.py.html

Aufgabe (1): Man mache ein Maxima-Programm daraus!

Programmcode (1):

„*“/* Umsatzsteuerberechnung */;
„*“;
„*“/* EINGABE des Nettobetrages */;
netto:1200;
„*“;
„*“/* VERARBEITUNG */;
ust:netto*0.2;
brutto:netto+ust;
„*“;
„*“/* AUSGABE */;
display(netto,ust,brutto);

Ausführung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1323597949

Aufgabe (2): Mache ein Geogebra-Programm daraus!

Hier eine Möglichkeit:

brutto_geogebra

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung (3 Kostenstellen)

Skizze der Aufgabenstellung:

lv-skizze

Erklärung der Abkürzungen:

PK = Primärkosten je Kostenstelle
LE = erstellte Leistungseinheiten je Kostenstelle
g1,g2 und g3 sind Gleichungen der Leistungsverflechtungen
l ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems
STK ist die Liste der Stückkosten k1,k2 und k3 je Kostenstelle

Programmcode:

PK:[20000,10000,50000];
LE:[100,200,400];
g1:LE[1]*k1=PK[1]+20*k2+10*k3;
g2:LE[2]*k2=PK[2]+10*k1+20*k3;
g3:LE[3]*k3=PK[3]+5*k1+10*k2;
l:solve([g1,g2,g3],[k1,k2,k3]),numer;
STK:[k1,k2,k3],l[1];
STK:map(floor,STK*100+0.5)/100.0;

Lösung mit Maxima Onlinehttp://maxima-online.org/?inc=r403400261

Annuitätentilgungsplan

Dynamische Systeme lassen sich gut mit rekursiven Folgen modellieren!

H     … Hypotheken-Darlehen
p      … Zinssatz
A      … Annuität
K[n] … Kapital

image   
Das Maxima-Programm für den Tilgungsplan        

Lösung mit Maxima Online:
http://maxima-online.org/?inc=r2009640708

Mit While-Schleife:
http://maxima-online.org/?inc=r-1731598530

Ohne Überzahlung:
http://maxima-online.org/?inc=r1015845602

Lineare Regression

Aufgabenstellung: http://www.geogebratube.org/student/m61254

Lösung:
x:[-2.66,1.12,2.76,5.14];
y:[-2.46,-0.74,2.5,4.06]; n:length(x);
sx2:sum(x[i]^2,i,1,n);
sx:sum(x[i],i,1,n);
sxy:sum(x[i]*y[i],i,1,n);
sy:sum(y[i],i,1,n);
g1:a*sx2+b*sx=sxy;
g2:a*sx+b*n=sy;
l:solve([g1,g2],[a,b]);
Regressionsgerade:Y=a*X+b,l,numer;

Berechnung mit Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r-464189249

Einfache Zinsenrechnung (Tagesformel)

Link zu Maxima Online: http://maxima-online.org/?inc=r841815430

(%i1) "*"/* Einfache  Zinsenrechnung nach der Tagesformel */;
(%o1)                                  *
(%i2) "*"/* Beteiligt: 
      K -> Kapital, 
      p -> Zinssatz, 
      t -> Tage und 
      Z -> Zinsen*/;
(%o2)                                  *
(%i3) S:{K,p,t,Z};
(%o3)                            {p, t, K, Z}
(%i4) "*"/* Drei Beteiligte müssen bekannt sein */;
(%o4)                                  *
(%i5) Aufgabe:listify(powerset(S,3));
(%o5)            [{p, t, K}, {p, t, Z}, {p, K, Z}, {t, K, Z}]
(%i6) "*"/* Zinsen gesucht */;
(%o6)                                  *
(%i7) Aufgabe[1];
(%o7)                              {p, t, K}
(%i8) Z=K*p*t/36000.0,K=1000,p=3,t=180;
(%o8)                              Z = 15.0
(%i9) "*"/* Kapital gesucht */;
(%o9)                                  *
(%i10) Aufgabe[2];
(%o10)                             {p, t, Z}
(%i11) K=Z*36000.0/(p*t),Z=30,p=3,t=90;
(%o11)                            K = 4000.0
(%i12) "*"/* Tage gesucht */;
(%o12)                                 *
(%i13) Aufgabe[3];
(%o13)                             {p, K, Z}
(%i14) t=Z*36000.0/(K*p),Z=30,K=1000,p=3;
(%o14)                             t = 360.0
(%i15) "*"/* Zinssatz gesucht */;
(%o15)                                 *
(%i16) Aufgabe[4];
(%o16)                             {t, K, Z}
(%i17) p=Z*36000.0/(K*t),Z=30,K=1000,t=180;
(%o17)                              p = 6.0
(%i18)

Tilgungsplan

Der Link zu Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-440310424

(%i1) "*"/* Berechnung eines Tilgungsplanes */;
(%o1)                                  *
(%i2) kill(all);
(%o0)                                done
(%i1) "*"/* Eingabe der Hypothek */;
(%o1)                                  *
(%i2) H:100000;
(%o2)                               100000
(%i3) "*"/* Eingabe vom Zinssatz in % */;
(%o3)                                  *
(%i4) p:8;
(%o4)                                  8
(%i5) "*"/* Eingabe der Annuität */;
(%o5)                                  *
(%i6) A:10000;
(%o6)                                10000
(%i7) "*"/* Interest i ist der Zinssatz als Dezimalzahl */;
(%o7)                                  *
(%i8) i:p/100.0;
(%o8)                                0.08
(%i9) "*"/* Das Anfangskapital ist identisch mit der Hypothek */;
(%o9)                                  *
(%i10) K[0]:H;
(%o10)                              100000
(%i11) "+"/* Die rekursive Berechnung des Tilgungsplans */;
(%o11)                                 +
(%i12) for n:1 step 1 while K[n-1]>=0 do(K[n]:=K[n-1]+i*K[n-1]-A, display(K[n]));
                                 K  = 98000.0
                                  1

                                 K  = 95840.0
                                  2

                                 K  = 93507.2
                                  3

                                K  = 90987.776
                                 4

                            K  = 88266.79807999999
                             5

                            K  = 85328.14192639999
                             6

                            K  = 82154.39328051198
                             7

                            K  = 78726.74474295294
                             8

                            K  = 75024.88432238917
                             9

                            K   = 71026.87506818031
                             10

                            K   = 66709.02507363474
                             11

                            K   = 62045.74707952552
                             12

                            K   = 57009.40684588757
                             13

                            K   = 51570.15939355858
                             14

                            K   = 45695.77214504327
                             15

                            K   = 39351.43391664673
                             16

                            K   = 32499.54862997846
                             17

                            K   = 25099.51252037674
                             18

                            K   = 17107.47352200688
                             19

                            K   = 8476.071403767426
                             20

                            K   = - 845.84288393118
                             21

(%o12)                               done
(%i13)

S-förmiger Kostenverlauf

Begriffserklärung:
Eine Kostenfunktion stellt (innerhalb der Wirtschaftswissenschaften) eine eindeutige Zuordnung der Kosten K(x) zu einer Bezugsgröße x  dar.
Unsere Bezugsgröße ist meistens die Produktionsmenge in ME (Mengenheiten, z.B. Stück).
Ein s-förmiger Kostenverlauf (zuerst degressiv und nach der Kostenkehre progressiv) lässt sich aus dem Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag herleiten. Die praktische Anwendbarkeit wird allerdings angezweifelt.

Ausgangssituation:

In den Mathematiklehrbüchern werden bei den Aufgaben der Kosten- und Preistheorie häufig Funktionen vorgegeben. Zur Theorie passende Funktionen muss man aber erst einmal finden.
Hier hilft Geogebra: http://www.geogebratube.org/student/m108070
Erklärung zur „Konstruktion“:sfkk_konstruktionDurch Ziehen an den Punkten kann man die Aufgabenstellungen einfach verändern.
Man kann die Geogebra-Datei für die lokale Verwendung herunterladen: http://www.geogebratube.org/material/download/format/file/id/108070

Aufgaben für die Lösung mit Maxima:

  1. Man bestimme die Kostenfunktion aus den Punkten A,B,C und D.
  2. Man bestimme die Fixkosten.
  3. Man bestimme die Kostenkehre.
  4. Man bestimme das Betriebsoptimum.
  5. Man bestimme die langfristige Preisuntergrenze.

Ein ungewöhnlicher Programmcode zur Bestimmung der Kostenfunktion:Berechnung von PolynomfunktionenWenn in Zeile (1) zwei Punkte gegebenen sind, erhält man eine lineare, bei drei Punkten eine quadratische und bei vier Punkten eine kubische Kostenfunktion. Um die kubische Kostenfunktion geht es beim s-förmigen Kostenverlauf.

Erklärung, wie das Programm Nr. 1 welches nicht nur für kubische, sondern auch für lineare und quadratische Kostenfunkitonen geeignet ist, funktioniert:

  1. Eingabe der gegebenen Punkte in Listenform.
  2. Da zwei, drei oder vier Punkte sinnvoll sein können, muss das Programm prüfen, wie viele Punkte gegeben sind.
  3. Der Grad des Polynoms ist um eins niedriger als die Anzahl der Punkte.
  4. Hier  wird ein raffinierter Ansatz verwendet.
    g(x) ist eine Funktion mit einem Punkt x:[x[1],x[2]] als Argument.
    Die Obergrenze der Summation muss n-1 = Grad und nicht n sein, da sonst der unbestimmte Fall 0^0 auftreten könnte. Dafür einfach a[n] ausserhalb hinzufügen.
  5. Die zwei, drei oder vier Gleichungen werden automatisch mit map erzeugt.
  6. Wie wir in (4) bemerkt haben, sind die unbekannten Koeffizienten nicht a,b,c,… sondern a[1],a[2],…,a[n].
  7. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems wird ermittelt.
  8. Mit Hilfe der Skalarmultiplikation von Vektoren (Listen) wird die Kostenfunktion berechnet und ausgegeben.

Lösungen mit Maxima-Online unter Verwendung eines früheren Programms: https://casmaxima.wordpress.com/2014/04/08/ein-polynom-zur-einer-gegebenen-punkteliste-bestimmen/

  1. http://maxima-online.org/?inc=r-1197448632
  2. http://maxima-online.org/?inc=r-375516577
  3.  http://maxima-online.org/?inc=r-32032642
  4. http://maxima-online.org/?inc=r1686026510
  5. http://maxima-online.org/?inc=r1686026510