Zinseszins- und Rentenrechnung

Man löse die folgenden Aufgaben:

Aufgabe Lösung mit Maxima-Online
Jemand leistet 7 Jahre lang  Einzahlungen  von 1000,— €  jeweils am Jahresende. Der Zinssatz ist zunächst 3%, sinkt aber nach 3 Jahren auf 2,5%.
a) Wie hoch ist der Endwert?
b) Welche nachschüssige Rente kann man anschließend 10 Jahre lang beziehen, wenn der Zinssatz 2,75% ist?
Lösungen: 7564.29, 875.48
Maxima als Taschenrechner: http://maxima-online.org/?inc=r-1202858219
Eine Schuld von 8000 € soll in nachschüssigen Jahresraten zu 1200 € getilgt werden (i = 7,5%).

  1. Wie hoch ist die Restschuld nach 5 Jahren?  (4514.97)
  2. Wie viele Vollraten müssen gezahlt werden, und wie groß ist der Restbetrag ein Jahr nach der letzten Vollrate?
    (9, 711.75)
http://maxima-online.org/?inc=r-400123032
Berechne die Endwerte der folgenden Renten bei einer jährlichen Verzinsung von i = 6%:

  1. 600 € am Ende jedes Jahres, Laufzeit 8 Jahre
  2. 450 € am Beginn jedes Jahres, Laufzeit 10 Jahre
  3. 100 € am Beginn jedes Quartals, Laufzeit 5 Jahre
  4. 70 € am Ende jedes Monats, Laufzeit 5 Jahre
Lösung 1: http://maxima-online.org/?inc=r-1260937541
Lösung 2: http://maxima-online.org/?inc=r-881014567
Lösung 3: http://maxima-online.org/?inc=r739021037
Lösung 4: http://maxima-online.org/?inc=r841955708

Die Aufgabe stammt von Jutta Gut.

Berechne die Barwerte der folgenden Renten bei einer jährlichen Verzinsung von i = 4%:

  1. 1200 € am Beginn jedes Jahres, Laufzeit 6 Jahre
  2. 800 € am Ende jedes Jahres, Laufzeit 9 Jahre
  3. 60 € am Beginn jedes Monats, Laufzeit 4 Jahre
  4. 500 € am Ende jedes Semesters, Laufzeit 10 Jahre

Lösungen: 6542,19; 5948,27; 2669,81; 8191,21

Lösung 1: http://maxima-online.org/?inc=r2033257328
Lösung 2: http://maxima-online.org/?inc=r-1709139356
Lösung 3: http://maxima-online.org/?inc=r-71403913
Lösung 4: http://maxima-online.org/?inc=r-1300514650
Man berechne die blau unterlegten Stellen:
image
Lösung 1: http://maxima-online.org/?inc=r1344699855
Lösung 2:

 

 

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Investitionsrechnung

Aufgabe:

Der ursprüngliche Kapitaleinsatz bei einer Investition ist KE=150000,
die geplante Amortisationsdauer ist n:5,
der interne Zinsfuß ist p=12% dek. p.a.

Der jährliche geplante Verlauf ist:
Einnahmen:[120000,100000,100000,90000,90000];
Ausgaben:[50000,55000,60000,65000,70000];

Man berechne:

  • den Barwert der Einnahmen BE,
  • den Barwert des Ausgaben BA,
  • den Barwert der Rückflüsse BR und
  • den Kapitalwert KW.

Lösung:

http://maxima-online.org/?inc=r-1463508766

Aufgaben Zinseszinsrechnung

Aufgabe:

Einige Aufgaben zur Zinseszinsrechnung.

  • Ko = Anfangskapital
  • p = Zinssatz dekursiv p.a.
  • n = Laufzeit in jahren
  • Kn = Endkapital

max_mi_1

Maxima Online:

Aufgabe Lösung mit Maxima-Önline
Ko=1000, n=8, Kn=1343,92 –> p ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r-253612693
Konventionelle Lösung: http://maxima-online.org/?inc=r1944795690
Ko=3000, p=2,75, Kn=3530,31 –> n ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r214710190
Ko=4000, p=2,625, n=4 –> Kn ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r-1621212001
p=2,5, n=2, Kn=5253,13 –> Ko ist gesucht. http://maxima-online.org/?inc=r640342496
Ein Kapital von 1000 € wird mit 8% Zinsen angelegt.

  • In welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?
  • Zeige, dass die Verdopplungszeit nicht davon abhängt, wie groß das Anfangskapital ist!
http://maxima-online.org/?inc=r-599407244

Waldwachstum mit Zinseszinsformel

Aufgabe:

Vor 10 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 7000 m³. Ohne Schlägerung ist er inzwischen auf 9880 m³ angewachsen. Man darf annehmen, dass das Holzwachstum ein exponentieller Vorgang ist.

  1. Zeige, dass die jährliche Wachstumsrate ca. 3,5% beträgt.
  2. Berechne die Zeitspanne, innerhalb der sich der Holzbestand verdoppelt bzw. verdreifacht.
  3. Man hat vor, in 3 Jahren 3000 m³ Holz zu schlägern. Wann wird dieser Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen?


Code
:

Ko:7000; n:10; Kn1:9880;
r:(Kn1/Ko)^(1/n);
i:r-1;
p:i*100;
Kn:2*Ko; oder Kn:3*Ko;
n:(log(Kn/Ko)/log(r);
Ko:Kn1;
K3:Ko*r^3-3000;
Ko:K3;
Kn:Kn1;
n:log(Kn/Ko)/log(r);

Maxima Online:

http://maxima-online.org/?inc=r-660840810

Anmerkung:

Das mathematische Modell der Zinseszinsrechnung lässt sich auch auf andere Probleme anwenden (Diskretes Wachstum).

Lösungsformeln:

image

Zinseszinsen – grundlegende Aufgaben

Aufgabe:

Es  gibt 4 grundlegende Aufgabenstellungen bei der Verwendung der Zinseszinsformel. Man berechne Beispiele dazu.

Berechnung des Endkapitals
image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-1782434007

Berechnung des Anfangskapitals

image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r808784585

Berechnung der Laufzeit in Jahren

image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r-374473161

Berechnung des Zinssatzes

image

Lösung mit Maxima-Online: http://maxima-online.org/?inc=r1765037634

Zinseszins (Endkapital)

Tafelbild aus dem Jahr 2005:

Zinseszins

Aufgaben der Finanzmathematik  sind besonders gut für die Anwendung eines Computeralgebrasystems geeignet.

Ko = Anfangskapital
p = Zinsatz dekursiv p.a. in Prozent
i = p/100 = Interest (engl.), der Zinssatz als Dezimalzahl
r = Aufzinsungsfaktor
n = Laufzeit (in Jahren)
Kn = Endkapital

Code:

http://maxima-online.org/?inc=r1082931755

Ko:1000;
p:3;
n:10;
i:p/100.0;
r:1+i;
Kn:Ko*r**n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Maxima Online:

http://maxima-online.org/?inc=r1082931755

Dokumentation:

endkapital
Mit „finance“-Unterprogramm:

http://maxima-online.org/?inc=r10577185

Anmerkung:

Die Verwendung von Unterprogrammen für so einfache Aufgabenstellungen sollte man vermeiden, es sei denn, das Unterprogramm wird entweder selbst geschrieben oder wenigstens genau analysiert. Black Box Methoden wie Taschenrechnerverwendung haben wenig Bildungswert).In diesem Fall wird die benutzerdefinierte Funktion

fv(i,Ko,n):=Ko*(1+i)^n

verwendet, das ist einfach zu verstehen.

 

Mapping-Übung:

http://maxima-online.org/?inc=r1869469945

Übung: Berechnung des Endkapitals

Das kann man natürlich auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lösen. Aber, es soll auf möglichst einfache Weise mit CAS Maxima gelöst werden.

Unregelmäßige Zahlungen

Aufgabe:

Quelle:http://www.lungau-academy.at/Mathematik-Tests/Fuenf_aufeinanderfolgende_Zahlungen.htm

Jemand zahlt sofort 7665 €, nach einem Jahr 4840 €, nach zwei Jahren 3526 €, nach drei Jahren 339 € undnach vier Jahren 3820 €. Bei einem Zinssatz von 5.125 % ergibt sich nach 11 Jahren das Endkapital Kn €.


Code
:

Zahlung:[[7665,0],[4840,1],[3526,2],[339,3],[3820,4]];
p:5.125;
r:1+p/100.0;
n:11;
BW(x):=x[1]/r^x[2];
Barwert:map(BW,Zahlung);
m:length(Barwert);
Ko:sum(Barwert[i],i,1,m);
Kn:Ko*r^n;
Kn:floor(Kn*100+0.5)/100.0;

Maxima Online:

http://maxima-online.org/?inc=r-886888242

Weitere Aufgaben:
(Ausgangssituation ist immer die Grundaufgabe)

  1. Wie hoch ist der Endwert, wenn der Zinssatz auf 3% verringert wird?
  2. Wie hoch ist der Endwert, wenn die zweite Zahlung um € 2000,– höher ist und der Zinssatz nur 1,5% beträgt?
  3. Wie ist es, wenn die fünfte Zahlung erst nach 7 Jahren erfolgt?

Erklärung des Programms:

code

  1. Liste mit Zahlungen und Fälligkeit (in jahren nach Beginn) -> EINGABE
  2. Zinssatz in % dek. p.a. –> EINGABE
  3. Berechnung de Aufzinsungsfaktors
  4. Laufzeit in Jahren –> EINGABE
  5. Barwertfunktion mit Liste als Argument
  6. Anwendung der Barwertfunktion auf die Zahlungsliste
  7. Länge der Barwertliste
  8. Summe aller Barwerte („Anfangskapital“)
  9. Endwert (Endkapital)
  10. Runden des Endkapitals auf zwei Nachkommastellen

wxMaxima:

Geogebra CAS:

 

 

Zinseszinsen mit tabellarischer Ausgabe

Aufgabe:

Eine Anzahl m von Aufgaben zur Zinseszinsrechnung ist zu lösen. Gesucht ist das Endkapital.


Code:


Ko:[1000,1000,2000,3000,4000,5000];
p:[3,2.25,1.875,2.5,3,2.785];
n:[10,10,9,3,7,6];
i:p/100.0;
r:1+i;
m:length(Ko);
Kn:makelist(Ko[i]*r[i]^n[i],i,1,m);
Liste:makelist([Ko[i],p[i],n[i],Kn[i]],i,1,m);
print("");
printf(true,"~{~{~9,2f ~}~%~}",Liste);

Ko : Anfangskapital
p : Zinssatz dek. p.a.
n : Laufzeit in Jahren
i : Zinssatz als Dezimalzahl
Kn : Endkapital

Maxima Online 01:

http://maxima-online.org/?inc=r-862965041

Maxima Online 02:

http://maxima-online.org/?inc=r-239382725

Maxima Online 03:
Mit map(<Funktion>,<Liste>), allerdings ohne tabellarische Ausgabe.

http://maxima-online.org/?inc=r-995003097